Aplique o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema em (-infty,+infty).
X^prime=(rrr 1 & 1 & 1 0 & 2 & 3 0 & 0 & -5 ) X+(r 1 -1 2 ) e^4 t

Passo 1

Enunciado: temos o sistema de EDOs linear inhomogêneo X'=AX + b,e^4t, onde
A=1&1&10&2&30&0&-5, b=1-12
O conteúdo é teoria de sistemas lineares de EDOs e método dos coeficientes indeterminados. Para resolver, precisamos achar primeiro a solução geral do sistema homogêneo X'=AX e depois uma solução particular para o termo forçante b,e^4t.

Passo 2

A solução homogênea usa o fato de que A é triangular. Fazemos back–substitution:
  1. De x3'=-5x3 vem x3(t)=C3e^-5t
  2. Em seguida, x2'-2x2=3x3=3C3e^-5t. Com o fator integrante e^-2t obtemos
(x2e^-2t)'=3C3e^-7t
e integrando
x2(t)=C2e^2t-37C3e^-5t
  1. Por fim, x1'-x1=x2+x3=C2e^2t-37C3e^-5t+C3e^-5t. Com fator integrante e^-t:
(x1e^-t)'=C2e^t+47C3e^-6t
Integrando,
x1(t)=C1e^t+C2e^2t-221C3e^-5t
Isso dá a parte homogênea.

Passo 3

Para a solução particular, usamos o palpite
Xp(t)=a,e^4t,
onde a=(a1,a2,a3)^T constante. Substituindo em X'=AX+b,e^4t e cancelando o e^4t fica
(A-4I)a + b = 0
Como
A-4I=-3&1&10&-2&30&0&-9,
resolvemos de baixo para cima:
  • Terceira equação: -9a3=-2 a3=2/9
  • Segunda: -2a2+3a3=1 -2a2+3cdottfrac29=1 a2=-1/6
  • Primeira: -3a1+a2+a3=-1 -3a1-tfrac16+tfrac29=-1 a1=19/54
    Logo
Xp(t)=19/54-1/62/9e^4t

Passo 4

Juntando as duas partes, a solução geral em (-infty,+infty) é a soma de Xh e Xp.

Resposta

X(t)=underbrace C1e^t+C2e^2t-tfrac221C3e^-5t[0.3em] C2e^2t-tfrac37C3e^-5t[0.3em] C3e^-5t Xh(t) +underbrace19/54-1/62/9e^4tXp(t)

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