Aplique o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema em .
Passo 1
Enunciado: temos o sistema de EDOs linear inhomogêneo X'=AX + b,e^4t, onde
A=1&1&10&2&30&0&-5, b=1-12
O conteúdo é teoria de sistemas lineares de EDOs e método dos coeficientes indeterminados. Para resolver, precisamos achar primeiro a solução geral do sistema homogêneo X'=AX e depois uma solução particular para o termo forçante b,e^4t.
Passo 2
A solução homogênea usa o fato de que A é triangular. Fazemos back–substitution:
De x3'=-5x3 vem x3(t)=C3e^-5t
Em seguida, x2'-2x2=3x3=3C3e^-5t. Com o fator integrante e^-2t obtemos
(x2e^-2t)'=3C3e^-7t
e integrando
x2(t)=C2e^2t-37C3e^-5t
Por fim, x1'-x1=x2+x3=C2e^2t-37C3e^-5t+C3e^-5t. Com fator integrante e^-t:
(x1e^-t)'=C2e^t+47C3e^-6t
Integrando,
x1(t)=C1e^t+C2e^2t-221C3e^-5t
Isso dá a parte homogênea.
Passo 3
Para a solução particular, usamos o palpite
Xp(t)=a,e^4t,
onde a=(a1,a2,a3)^T constante. Substituindo em X'=AX+b,e^4t e cancelando o e^4t fica