integral x+42 x+3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x + 42x + 3 , dx. Esse exercício envolve o conteúdo de cálculo de integrais de funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de divisão de polinômios e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração x + 42x + 3. Para isso, faremos uma divisão polinomial para separar a expressão em uma parte constante e uma fração mais simples.

Passo 3

Dividindo x + 4 por 2x + 3, observamos que o coeficiente de x no numerador é 1 e no denominador é 2. Então, a parte constante da divisão será 12.

Passo 4

Agora, multiplicamos 12 por 2x + 3 para encontrar o que falta no numerador:
12 times (2x + 3) = x + 32

Passo 5

Subtraindo isso de x + 4, temos:
(x + 4) - (x + 32) = 52
Então, a fração original pode ser reescrita como:
x + 42x + 3 = 12 + 522x + 3

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral x + 42x + 3 , dx = integral (12 + 522x + 3) , dx

Passo 7

Podemos separar a integral em duas partes:
integral 12 , dx + 52 integral 12x + 3 , dx

Passo 8

Calculando a primeira integral:
integral 12 , dx = 12x

Passo 9

Para a segunda integral, fazemos uma substituição simples. Deixe u = 2x + 3, então du = 2 , dx, ou seja, dx = du2.

Passo 10

Substituindo na integral:
52 integral 1u cdot du2 = 54 integral 1u , du = 54 ln|u| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 11

Agora, voltamos para a variável original substituindo u = 2x + 3:
54 ln|2x + 3| + C

Resposta

A integral integral x + 42x + 3 , dx é igual a 12x + 54 ln|2x + 3| + C.

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