Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve o conteúdo de cálculo de integrais de funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de divisão de polinômios e propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração
. Para isso, faremos uma divisão polinomial para separar a expressão em uma parte constante e uma fração mais simples.
Passo 3
Dividindo
por
, observamos que o coeficiente de
no numerador é 1 e no denominador é 2. Então, a parte constante da divisão será
.
Passo 4
Agora, multiplicamos
por
para encontrar o que falta no numerador:
Passo 5
Subtraindo isso de
, temos:
Então, a fração original pode ser reescrita como:
Passo 6
Agora, substituímos essa expressão na integral original:
Passo 7
Podemos separar a integral em duas partes:
Passo 8
Calculando a primeira integral:
Passo 9
Para a segunda integral, fazemos uma substituição simples. Deixe
, então
, ou seja,
.
Passo 10
Substituindo na integral:
Onde
é a constante de integração.
Passo 11
Agora, voltamos para a variável original substituindo
:
Resposta
A integral
é igual a
.