Resolva a equação de Bernoulli dada sujeita à condição inicial indicada.
\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}\left(\mathbf{1}+\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}^{\mathbf{2}}\right) \frac{\boldsymbol{d} \boldsymbol{y}}{\boldsymbol{d} \boldsymbol{x}}=\mathbf{1} ; \boldsymbol{y}(\mathbf{1})=\mathbf{0}

Passo 1

O enunciado dá a equação
x\,y\bigl(1 + x\,y^2\bigr)\,\frac{dy}{dx} = 1,
com condição inicial y(1)=0. Trata-se de uma equação de Bernoulli se invertermos e considerarmos x como função de y. Nosso objetivo é obter uma equação linear em uma nova variável.

Passo 2

Invertendo a relação obtemos
\frac{dx}{dy} = x\,y\bigl(1 + x\,y^2\bigr) = y\,x + y^3\,x^2.
Reescrevendo em forma padrão de Bernoulli para x(y), temos
\frac{dx}{dy} - y\,x = y^3\,x^2.

Passo 3

Para resolver, fazemos a substituição típica de Bernoulli
u = \frac{1}{x}.
Diferenciando,
\frac{du}{dy} = -\frac{1}{x^2}\,\frac{dx}{dy} \;\Longrightarrow\; \frac{dx}{dy} = -\,x^2\,\frac{du}{dy}.
Substituindo na equação de Bernoulli:
-\,x^2\,\frac{du}{dy} - y\,x = y^3\,x^2.
Dividindo por x e usando x=1/u resulta em
-\,\frac{1}{u}\,\frac{du}{dy} - y = \frac{y^3}{u} \;\Longrightarrow\; \frac{du}{dy} + y\,u = -\,y^3,
que é uma equação linear em u(y).

Passo 4

O fator integrante é
\mu(y) = \exp\!\biggl(\int y\,dy\biggr) = \exp\!\bigl(\tfrac{y^2}{2}\bigr).
Multiplicando por \mu(y) e integrando:
\frac{d}{dy}\Bigl(u\,e^{y^2/2}\Bigr) = -\,y^3\,e^{y^2/2} \;\Longrightarrow\; u\,e^{y^2/2} = \int -\,y^3\,e^{y^2/2}\,dy.
Fazendo t = y^2/2, dt = y\,dy, tem-se
\int -\,y^3\,e^{y^2/2}\,dy = -2\int t\,e^{t}\,dt = -2\bigl(t\,e^t - e^t\bigr) + C = -e^{y^2/2}\bigl(y^2 - 2\bigr) + C.
Logo
u\,e^{y^2/2} = -\,e^{y^2/2}\bigl(y^2 - 2\bigr) + C \;\Longrightarrow\; u = 2 - y^2 + C\,e^{-y^2/2}.

Passo 5

Voltando a x, temos
\frac{1}{x} = 2 - y^2 + C\,e^{-y^2/2}.
Usando a condição y(1)=0, quando y=0 deve valer x=1, então
1 = \frac{1}{x}\Big|_{y=0} = 2 - 0 + C\cdot e^0 \;\Longrightarrow\; 1 = 2 + C \;\Longrightarrow\; C = -1.

Passo 6

Substituindo C=-1 obtemos a solução geral com a condição inicial:
\frac{1}{x} = 2 - y^2 \;-\; e^{-y^2/2}.
Essa é a relação implícita entre x e y que resolve o problema.

Resposta

\frac{1}{x} = 2 - y^2 \;-\; e^{-y^2/2}.

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