Aplique o método de integração por partes para determinar a integral indefinida.
integral t sec ^2(2 t) d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral t,sec^2(2t),dt usando o método de integração por partes. O conteúdo aqui é integração por partes, cuja fórmula é integral u,dv = u,v - integral v,du. Vamos precisar escolher u e dv, derivar u e integrar dv.

Passo 2

Escolhemos
u = t e dv = \sec^2(2t),dt
então
du = dt
Para encontrar v, calculamos a integral de dv:
v = integral sec^2(2t),dt = 12,tan(2t)

Passo 3

Aplicamos a fórmula de partes:
integral t,sec^2(2t),dt = u,v - integral v,du = tcdot12tan(2t) - integral 12tan(2t),dt
Colocamos o fator 1/2 em evidência:
integral t,sec^2(2t),dt = t2tan(2t) - 12integral tan(2t),dt

Passo 4

Precisamos agora calcular integral tan(2t),dt. Usamos a identidade tan x = sin xcos x e a integral padrão integral tan(ax),dx = -1aln|cos(ax)|. Logo:
integral tan(2t),dt = -12ln|cos(2t)|

Passo 5

Substituindo esse resultado de volta e simplificando:
integral t,sec^2(2t),dt = t2tan(2t) - 12l(-12ln|cos(2t)|r) + C
ou seja,
integral t,sec^2(2t),dt = t2tan(2t) + 14ln|cos(2t)| + C

Resposta

t2 tan(2t) + 14 ln|cos(2t)| + C

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