Aplique o método de integração por partes para determinar a integral indefinida.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o método de integração por partes. O conteúdo aqui é integração por partes, cuja fórmula é
. Vamos precisar escolher
e
, derivar
e integrar
.
Passo 2
Escolhemos
u = t e dv = \sec^2(2t),dt
então
du = dt
Para encontrar v, calculamos a integral de dv:
u = t e dv = \sec^2(2t),dt
então
du = dt
Para encontrar v, calculamos a integral de dv:
Passo 3
Aplicamos a fórmula de partes:
Colocamos o fator
em evidência:
Passo 4
Precisamos agora calcular
. Usamos a identidade
e a integral padrão
. Logo:
Passo 5
Substituindo esse resultado de volta e simplificando:
ou seja,