Resolva a equação.
2^x+4^x=8^x

Passo 1

Temos a equação 2^x + 4^x = 8^x. O conteúdo da matéria é equações exponenciais. Para resolver, vamos reescrever todas as potências na mesma base, usar uma divisão que simplifique a expressão e fazer uma substituição para transformar tudo numa equação quadrática.

Passo 2

Observando que 4^x = (2^2)^x = 2^2x e 8^x = (2^3)^x = 2^3x, substituímos na equação original:
2^x + 2^2x = 2^3x
Agora dividimos ambos os lados por 2^x (que é sempre positivo), obtendo
1 + 2^x = 2^2x

Passo 3

Definimos a variável auxiliar y = 2^x, que também é positiva. Assim, a equação fica
1 + y = y^2
ou seja
y^2 - y - 1 = 0
que é uma equação quadrática.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara para y^2 - y - 1 = 0:
y = 1 pm raiz1 + 42 = 1 pm raiz52
Como y = 2^x > 0, descartamos tfrac1 - raiz52 (que é negativo) e ficamos com
y = 1 + raiz52

Passo 5

Voltando a x, temos 2^x = tfrac1 + raiz52. Tomando logaritmo na base 2 para isolar x, obtemos
x = log2!l(tfrac1 + raiz52r)

Resposta

x = log2!l(tfrac1 + raiz52r)

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