Aplique o método de integração por partes para resolver as integrais.
integral x^3 ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral x^3ln(x),dx usando o método de integração por partes, que faz parte do tópico de técnicas de integração. A integração por partes se baseia na fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du. Vamos precisar escolher funções u e dv de modo que du e v sejam mais simples.

Passo 2

Escolhemos u = ln(x) (pois sua derivada simplifica) e dv = x^3,dx. Derivando e integrando:
du = 1x,dx,
v = integral x^3,dx = x^44

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
integral x^3ln(x),dx = u,v - integral v,du = ln(x)cdotx^44 - integral x^44cdot1x,dx

Passo 4

Simplificando o integrando:
x^44cdot1x = x^34,
então
integral x^3ln(x),dx = x^44ln(x) - 14integral x^3,dx

Passo 5

Calculando a integral restante e adicionando +C:
integral x^3,dx = x^44,
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integral x^3ln(x),dx = x^44ln(x) - 14cdotx^44 + C = x^44ln(x) - x^416 + C

Resposta

x^44ln(x) - x^416 + C

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