l f(x)=raize^x+e^-x f^prime(x)=?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a derivada da função $ f(x) = \sqrt{e^{x} + e^{-x}} $. A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções compostas. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções que são compostas por outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização da composição. Podemos expressar a raiz quadrada como uma potência:
f(x) = (e^x + e^-x)^12
Aqui, vemos que temos uma função externa $ u^{\frac{1}{2}} $ e uma função interna $ u = e^{x} + e^{-x} $.

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta $ f(g(x)) $ é $ f’(g(x)) \cdot g’(x) $.
Então, identificamos:
f(g(x))
Primeiro, vamos derivar $ f(u) $ em relação a $ u $:
f'(g(x)) cdot g'(x)

Passo 4

Em seguida, derivamos $ u(x) $ em relação a $ x $:
u(x)

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando $ f’(u) $ por $ u’(x) $:
f'(u)
Substituindo $ u $ de volta:
u'(x)

Resposta

A derivada de $ f(x) = \sqrt{e^{x} + e^{-x}} $ é:
f(x) = raize^x + e^-x

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