Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a derivada da função $ f(x) = \sqrt{e^{x} + e^{-x}} $. A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções compostas. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções que são compostas por outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização da composição. Podemos expressar a raiz quadrada como uma potência:
Aqui, vemos que temos uma função externa $ u^{\frac{1}{2}} $ e uma função interna $ u = e^{x} + e^{-x} $.
Passo 3
Agora, aplicamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta $ f(g(x)) $ é $ f’(g(x)) \cdot g’(x) $.
Então, identificamos:
Primeiro, vamos derivar $ f(u) $ em relação a $ u $:
Passo 4
Em seguida, derivamos $ u(x) $ em relação a $ x $:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando $ f’(u) $ por $ u’(x) $:
Substituindo $ u $ de volta:
Resposta
A derivada de $ f(x) = \sqrt{e^{x} + e^{-x}} $ é: