Aplique o método de integração por partes para resolver as integrais.
integral e^theta sen theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral e^theta,sintheta,dtheta usando o método de integração por partes. O conteúdo envolve a fórmula integral u,dv = u v - integral v,du.

Passo 2

Vamos chamar I = integral e^theta,sintheta,dtheta. Na primeira aplicação de partes, escolhemos
u = e^theta e dv = sintheta,dtheta.
Então
du = e^theta,dtheta, v = integral sintheta,dtheta = -costheta
Aplicando a fórmula:
I = u v - integral v,du = -e^thetacostheta - integral (-costheta),e^theta,dtheta = -e^thetacostheta + integral e^thetacostheta,dtheta

Passo 3

Agora fazemos a segunda aplicação de partes para integral e^thetacostheta,dtheta. Chamamos essa integral de J. Escolhemos
u1 = e^theta e dv1 = costheta,dtheta.
Então
du1 = e^theta,dtheta, v1 = integral costheta,dtheta = sintheta
Aplicando a fórmula:
J = e^thetasintheta - integral sintheta,e^theta,dtheta = e^thetasintheta - I

Passo 4

Substituindo J em I obtemos
I = -e^thetacostheta + J = -e^thetacostheta + l(e^thetasintheta - Ir)
Isso dá
I = -e^thetacostheta + e^thetasintheta - I
e portanto
2I = e^theta(sintheta - costheta)
assim
I = e^theta2(sintheta - costheta) + C

Resposta

integral e^thetasintheta,dtheta = e^theta2(sintheta - costheta) + C.

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