Aplique o método de Newton-Raphson nos exemplos abaixo, para a obtenção de uma das raízes com mais precisão. Execute ao menos três iterações, chute um valor final para a raiz, e evidencie qual o erro relativo máximo deste valor.
f(x)=x^{2} e^{x}-1 (chute inicial: x_{0}=0.5 );

Passo 1

O enunciado pede que se aplique o método de Newton–Raphson à função
f(x)=x^{2}e^{x}-1
com chute inicial x_{0}=0{,}5, executando pelo menos três iterações, apresentando um valor final aproximado da raiz e evidenciando o erro relativo máximo desse valor.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{2}e^{x}-1.
  • Chute inicial: x_{0}=0{,}5.
  • Pedido: executar ao menos três iterações do método de Newton–Raphson, dar uma aproximação final da raiz e informar o erro relativo máximo dessa aproximação.

Passo 2

Apresentando o método (aula rápida e direta).
  • O método de Newton–Raphson gera uma sequência de aproximações x_{0},x_{1},x_{2},\dots pela fórmula
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
  • Aqui:
    • x_{n} é a aproximação atual da raiz,
    • f(x_{n}) é o valor da função no ponto x_{n},
    • f'(x_{n}) é a derivada da função no ponto x_{n},
    • e x_{n+1} é a próxima aproximação.
  • Interpretação prática: calcula-se o declive da reta tangente em x_n e segue-se essa reta até cruzar o eixo x; esse cruzamento dá x_{n+1}.

Passo 3

Derivada da função (passo necessário para aplicar a fórmula).
  • Usando a regra do produto para x^{2}e^{x}:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}e^{x}\big)=2x e^{x}+x^{2}e^{x}=e^{x}\big(2x+x^{2}\big).
  • Assim:
f'(x)=e^{x}\big(2x+x^{2}\big).

Passo 4

Iteração 1 (a partir de x_{0}=0{,}5).
  • Primeiro calculo e^{x_{0}}:
e^{0{,}5}\approx1{,}648721271.
  • Calculo f(x_{0}):
f(0{,}5)=(0{,}5)^{2}e^{0{,}5}-1=0{,}25\cdot1{,}648721271-1\approx-0{,}5878196822.
  • Calculo f'(x_{0}):
f'(0{,}5)=e^{0{,}5}\big(2\cdot0{,}5+(0{,}5)^{2}\big)=1{,}648721271\cdot1{,}25\approx2{,}0609015888.
  • Atualização pelo método:
x_{1}=0{,}5-\frac{-0{,}5878196822}{2{,}0609015888}=0{,}5+0{,}2852439307\approx0{,}7852439307.

Passo 5

Iteração 2 (de x_{1} para x_{2}).
  • Calculo e^{x_{1}}:
e^{0{,}7852439307}\approx2{,}192934986.
  • Calculo x_{1}^{2}:
(0{,}7852439307)^{2}\approx0{,}6166130348.
  • Calculo f(x_{1}):
f(0{,}7852439307)=0{,}6166130348\cdot2{,}192934986-1\approx0{,}3521925596.
  • Calculo f'(x_{1}):
f'(0{,}7852439307)=2{,}192934986\cdot\big(2\cdot0{,}7852439307+0{,}6166130348\big) \approx2{,}192934986\cdot2{,}1871008962\approx4{,}796172784.
  • Atualização:
x_{2}=0{,}7852439307-\frac{0{,}3521925596}{4{,}796172784}\approx0{,}7852439307-0{,}0734310000\approx0{,}7118129307.

Passo 6

Iteração 3 (de x_{2} para x_{3}).
  • Calculo e^{x_{2}}:
e^{0{,}7118129307}\approx2{,}037682077.
  • Calculo x_{2}^{2}:
(0{,}7118129307)^{2}\approx0{,}5066776136.
  • Calculo f(x_{2}):
f(0{,}7118129307)=0{,}5066776136\cdot2{,}037682077-1\approx0{,}0324482878.
  • Calculo f'(x_{2}):
f'(0{,}7118129307)=2{,}037682077\cdot\big(2\cdot0{,}7118129307+0{,}5066776136\big) \approx2{,}037682077\cdot1{,}930303477\approx3{,}933347920.
  • Atualização:
x_{3}=0{,}7118129307-\frac{0{,}0324482878}{3{,}933347920}\approx0{,}7118129307-0{,}0082519999\approx0{,}7035609308.

Passo 7

Iteração 4 (de x_{3} para x_{4}) — já é a quarta iteração, cumprindo “ao menos três”.
  • Calculo e^{x_{3}}:
e^{0{,}7035609308}\approx2{,}020936699.
  • Calculo x_{3}^{2}:
(0{,}7035609308)^{2}\approx0{,}4949979686.
  • Calculo f(x_{3}):
f(0{,}7035609308)=0{,}4949979686\cdot2{,}020936699-1\approx0{,}0003642188.
  • Calculo f'(x_{3}):
f'(0{,}7035609308)=2{,}020936699\cdot\big(2\cdot0{,}7035609308+0{,}4949979686\big) \approx2{,}020936699\cdot1{,}902119830\approx3{,}844091665.
  • Atualização:
x_{4}=0{,}7035609308-\frac{0{,}0003642188}{3{,}844091665}\approx0{,}7035609308-0{,}0000946590\approx0{,}7034662718.

Passo 8

Estimativa do erro relativo máximo do valor final (estratégia prática na prova).
  • Uma estimativa clássica e segura do erro absoluto do x_{n} é tomar como cota o tamanho da última correção:
\text{cota de erro absoluto}\\ \le |x_{4}-x_{3}|.
  • Logo a cota para o erro absoluto é
|x_{4}-x_{3}|\approx0{,}0000946590.
  • O erro relativo máximo (cota) usa divisão pela aproximação final:
\text{erro relativo máximo}\le\frac{|x_{4}-x_{3}|}{|x_{4}|} \approx\frac{0{,}0000946590}{0{,}7034662718}\approx1{,}345\times10^{-4}.á
  • Interpretação: com base nas últimas correções, pode-se afirmar que a aproximação x_{4} tem erro relativo no máximo da ordem de 1{,}3\times10^{-4} (ou 0{,}01345\%).

Passo 9

Verificação adicional (opcional, para conforto): valor mais exato da raiz.
  • A equação x^{2}e^{x}=1 tem a raiz positiva expressível com a função de Lambert W como x=2W(1/2), cujo valor numérico é
x_{\text{exato}}\approx0{,}7034674225.
  • O erro real de x_{4} é
|x_{4}-x_{\text{exato}}|\approx|0{,}7034662718-0{,}7034674225|\approx1{,}1507\times10^{-6},
logo o erro relativo real é
\frac{1{,}1507\times10^{-6}}{0{,}7034674225}\approx1{,}635\times10^{-6},
bem menor que a cota estimada com a última correção (o que é típico do método, por convergência quadrática).

Resposta

x\approx0{,}7034662718
erro relativo máximo \approx1{,}345\times10^{-4}

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