Aplique o método de Newton-Raphson nos exemplos abaixo, para a obtenção de uma das raízes com mais precisão. Execute ao menos três iterações, chute um valor final para a raiz, e evidencie qual o erro relativo máximo deste valor.
(chute inicial:
);
Passo 1
O enunciado pede que se aplique o método de Newton–Raphson à função
com chute inicial
, executando pelo menos três iterações, apresentando um valor final aproximado da raiz e evidenciando o erro relativo máximo desse valor.
Informações dadas:
- A função é
. - Chute inicial:
. - Pedido: executar ao menos três iterações do método de Newton–Raphson, dar uma aproximação final da raiz e informar o erro relativo máximo dessa aproximação.
Passo 2
Apresentando o método (aula rápida e direta).
- O método de Newton–Raphson gera uma sequência de aproximações
pela fórmula
- Aqui:
-
é a aproximação atual da raiz, -
é o valor da função no ponto , -
é a derivada da função no ponto , - e
é a próxima aproximação.
-
- Interpretação prática: calcula-se o declive da reta tangente em
e segue-se essa reta até cruzar o eixo ; esse cruzamento dá .
Passo 3
Derivada da função (passo necessário para aplicar a fórmula).
- Usando a regra do produto para
:
- Assim:
Passo 4
Iteração 1 (a partir de
).
- Primeiro calculo
:
- Calculo
:
- Calculo
:
- Atualização pelo método:
Passo 5
Iteração 2 (de
para
).
- Calculo
:
- Calculo
:
- Calculo
:
- Calculo
:
- Atualização:
Passo 6
Iteração 3 (de
para
).
- Calculo
:
- Calculo
:
- Calculo
:
- Calculo
:
- Atualização:
Passo 7
Iteração 4 (de
para
) — já é a quarta iteração, cumprindo “ao menos três”.
- Calculo
:
- Calculo
:
- Calculo
:
- Calculo
:
- Atualização:
Passo 8
Estimativa do erro relativo máximo do valor final (estratégia prática na prova).
- Uma estimativa clássica e segura do erro absoluto do
é tomar como cota o tamanho da última correção:
- Logo a cota para o erro absoluto é
- O erro relativo máximo (cota) usa divisão pela aproximação final:
- Interpretação: com base nas últimas correções, pode-se afirmar que a aproximação
tem erro relativo no máximo da ordem de (ou ).
Passo 9
Verificação adicional (opcional, para conforto): valor mais exato da raiz.
- A equação
tem a raiz positiva expressível com a função de Lambert como , cujo valor numérico é
- O erro real de
é
logo o erro relativo real é
bem menor que a cota estimada com a última correção (o que é típico do método, por convergência quadrática).
Resposta
erro relativo máximo