Resolva os seguintes sistemas utilizando-se o Método de Eliminação de Gauss (MEG), até chegar na matriz triangular superior. Não desenvolva o exercício por outros métodos, e utilize a nomenclatura da sala de aula, como " L_{i} \leftarrow L_{i}+\ldots " ou " m_{i j}=\ldots ".
\begin{gathered} \left\{\begin{array}{cc} 2 x+3 y= & 8 \\\\ 4 x+y= & 10 \end{array}\right. \\\ \left\{\begin{aligned} & x+y+z= \\\ & 2 x+3 y+7 z= \\\ & x+3 y+4 z= \\\ & \ln +20 \end{aligned}\right. \\\ \left\{\begin{aligned} & 3 x+2 y+4 z= \\\ & x+y+2 z= \\\ & 4 x+3 y-2 z= \\\ & 3 \end{aligned}\right. \\\ \left\{\begin{aligned} & x+2 y+3 z= \\\ & 2 x+3 y+z= \\\ & x+y+2 z= \\\ & 1 \end{aligned}\right. \\\ \left\{\begin{array}{rll} x+y+z+w & = & 10 \\\\ 2 x+3 y+z+2 w & = & 19 \\\\ 3 x+y+2 z+w & = & 18 \\\\ 2 x+2 y+3 z+3 w & = & 26 \end{array}\right. \\\ \left\{\begin{array}{rll} 5 x+2 y+z & = & 3 \\\\ 3 x+4 y+2 z & = & 1 \\\ x+y+z & = & 2 \end{array}\right. \end{gathered}
\left\{\begin{aligned} 2 x+4 y-2 z & =2 \\\\ -2 x-3 y+z & =9 \\\\ 3 x+3 y+z & =10 \end{aligned}\right.

Passo 1

Vou listar claramente os sistemas que o enunciado dá, numerando-os na ordem em que aparecem, e indicar quais estão bem formulados (com todos os termos do lado direito) e quais estão incompletos (faltam dados, então não dá para resolver).
Sistema 1 (bem dado):
\begin{cases} 2x+3y=8\\[4pt] 4x+y=10 \end{cases}
Sistema 2 (incompleto — faltam os termos independentes / RHS):
\begin{cases} x+y+z=\\[4pt] 2x+3y+7z=\\[4pt] x+3y+4z= \end{cases}
Sistema 3 (incompleto — faltam os termos independentes / RHS):
\begin{cases} 3x+2y+4z=\\[4pt] x+y+2z=\\[4pt] 4x+3y-2z= \end{cases}
Sistema 4 (incompleto — faltam os termos independentes / RHS):
\begin{cases} x+2y+3z=\\[4pt] 2x+3y+z=\\[4pt] x+y+2z= \end{cases}
Sistema 5 (bem dado):
\begin{cases} x+y+z+w=10\\[4pt] 2x+3y+z+2w=19\\[4pt] 3x+y+2z+w=18\\[4pt] 2x+2y+3z+3w=26 \end{cases}
Sistema 6 (bem dado):
\begin{cases} 5x+2y+z=3\\[4pt] 3x+4y+2z=1\\[4pt] x+y+z=2 \end{cases}
Sistema 7 (bem dado):
\begin{cases} 2x+4y-2z=2\\[4pt] -2x-3y+z=9\\[4pt] 3x+3y+z=10 \end{cases}
Observação importante: os sistemas 2, 3 e 4 estão incompletos — faltam os números do lado direito das equações. Sem esses números não há como montar a matriz aumentada completa nem aplicar o Método de Eliminação de Gauss. Portanto só vou resolver, por MEG, os sistemas 1, 5, 6 e 7; para os sistemas incompletos eu explicito que não é possível prosseguir.
Agora começo as aplicações do Método de Eliminação de Gauss (MEG). Antes de entrar nas contas, um lembrete do procedimento e notação que vou usar (pra ficar igual à sala): para eliminar abaixo do pivô na coluna j uso o multiplicador
m_{ij}=\frac{a_{ij}}{a_{jj}}
e a operação de linha será escrita como
L_i \leftarrow L_i - m_{ij} L_j.
Isto significa: pego a linha i e subtraio m_{ij} vezes a linha j, zerando a_{ij}. Vou mostrar passo a passo os multiplicadores e as linhas resultantes até obter a matriz triangular superior (matriz aumentada triangular).]

Passo 2

Resolução do Sistema 1 por MEG (parar quando chegar à matriz triangular superior).
Matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{cc|c} 2 & 3 & 8\\[4pt] 4 & 1 & 10 \end{array}\right]
Pivô na posição (1,1) é a_{11}=2. Calculo o multiplicador para zerar a_{21}:
m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{4}{2}=2.
Faço a operação de linha:
L_2 \leftarrow L_2 - m_{21}L_1 = L_2 - 2 L_1.
Aplicando:
L_2 = [4,\,1,\,10] - 2\cdot[2,\,3,\,8] = [4-4,\;1-6,\;10-16] = [0,\,-5,\,-6].
Matriz aumentada triangular superior final:
\left[\begin{array}{cc|c} 2 & 3 & 8\\[4pt] 0 & -5 & -6 \end{array}\right]]

Passo 3

Os Sistemas 2, 3 e 4 não podem ser resolvidos pelo Método de Eliminação de Gauss porque faltam os termos independentes (RHS) em suas equações. Sem esses números, não é possível montar a matriz aumentada completa nem aplicar as operações de eliminação para obter a matriz triangular superior.

Passo 4

Resolução do Sistema 5 (4×4) por MEG até a matriz triangular superior.
Matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\[4pt] 2 & 3 & 1 & 2 & 19\\[4pt] 3 & 1 & 2 & 1 & 18\\[4pt] 2 & 2 & 3 & 3 & 26 \end{array}\right]
Pivô a_{11}=1.
  1. Eliminação na coluna 1:
m_{21}=\frac{2}{1}=2,\quad m_{31}=\frac{3}{1}=3,\quad m_{41}=\frac{2}{1}=2.
Operações:
L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1,\quad L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1,\quad L_4 \leftarrow L_4 - 2L_1.
Resultados:
L_2=[0,\;1,\;-1,\;0,\;-1],
L_3=[0,\;-2,\;-1,\;-2,\;-12],
L_4=[0,\;0,\;1,\;1,\;6].
Matriz após essa etapa:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & -2 & -1 & -2 & -12\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 6 \end{array}\right]
  1. Pivô na posição (2,2): a_{22}=1.
Eliminação na coluna 2 abaixo do pivô:
m_{32}=\frac{a_{32}}{a_{22}}=\frac{-2}{1}=-2,\quad m_{42}=\frac{0}{1}=0.
Operação não-trivial:
L_3 \leftarrow L_3 - m_{32}L_2 = L_3 - (-2)L_2 = L_3 + 2L_2.
Resultado:
L_3=[0,\;0,\;-3,\;-2,\;-14].
Linha 4 permanece igual (pois m_{42}=0).
Matriz agora:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & -3 & -2 & -14\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 6 \end{array}\right]
  1. Pivô na posição (3,3): a_{33}=-3.
Eliminação na coluna 3 abaixo do pivô:
m_{43}=\frac{a_{43}}{a_{33}}=\frac{1}{-3}=-\tfrac{1}{3}.
Operação:
L_4 \leftarrow L_4 - m_{43} L_3 = L_4 - \left(-\tfrac{1}{3}\right)L_3 = L_4 + \tfrac{1}{3}L_3.
Resultado:
L_4=[0,\;0,\;0,\;\tfrac{1}{3},\;\tfrac{4}{3}].
Matriz aumentada triangular superior final:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & -3 & -2 & -14\\[4pt] 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{3} & \tfrac{4}{3} \end{array}\right]]

Passo 5

Resolução do Sistema 6 (3×3) por MEG até a matriz triangular superior.
Matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{rrr|r} 5 & 2 & 1 & 3\\[4pt] 3 & 4 & 2 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right]
Pivô a_{11}=5.
  1. Eliminação na coluna 1:
m_{21}=\frac{3}{5},\quad m_{31}=\frac{1}{5}.
Operações:
L_2 \leftarrow L_2 - \frac{3}{5}L_1,\quad L_3 \leftarrow L_3 - \frac{1}{5}L_1.
Resultados:
L_2=[0,\;\tfrac{14}{5},\;\tfrac{7}{5},\;-\tfrac{4}{5}],
L_3=[0,\;\tfrac{3}{5},\;\tfrac{4}{5},\;\tfrac{7}{5}].
Matriz intermediária:
\left[\begin{array}{rrr|r} 5 & 2 & 1 & 3\\[4pt] 0 & \tfrac{14}{5} & \tfrac{7}{5} & -\tfrac{4}{5}\\[4pt] 0 & \tfrac{3}{5} & \tfrac{4}{5} & \tfrac{7}{5} \end{array}\right]
  1. Pivô na posição (2,2): a_{22}=\tfrac{14}{5}.
Eliminação na coluna 2 abaixo do pivô:
m_{32}=\frac{a_{32}}{a_{22}}=\frac{\tfrac{3}{5}}{\tfrac{14}{5}}=\frac{3}{14}.
Operação:
L_3 \leftarrow L_3 - m_{32} L_2.
Cálculo do resultado:
L_3=[0,\;0,\;\tfrac{1}{2},\;\tfrac{11}{7}].
Matriz aumentada triangular superior final:
\left[\begin{array}{rrr|r} 5 & 2 & 1 & 3\\[4pt] 0 & \tfrac{14}{5} & \tfrac{7}{5} & -\tfrac{4}{5}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{11}{7} \end{array}\right]]

Passo 6

Resolução do Sistema 7 (3×3) por MEG até a matriz triangular superior.
Matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{rrr|r} 2 & 4 & -2 & 2\\[4pt] -2 & -3 & 1 & 9\\[4pt] 3 & 3 & 1 & 10 \end{array}\right]
Pivô a_{11}=2.
  1. Eliminação na coluna 1:
m_{21}=\frac{-2}{2}=-1,\quad m_{31}=\frac{3}{2}.
Operações:
L_2 \leftarrow L_2 - m_{21}L_1 = L_2 - (-1)L_1 = L_2 + L_1,
L_3 \leftarrow L_3 - m_{31}L_1 = L_3 - \tfrac{3}{2}L_1.
Resultados:
L_2=[0,\;1,\;-1,\;11],
L_3=[0,\;-3,\;4,\;7].
Matriz intermediária:
\left[\begin{array}{rrr|r} 2 & 4 & -2 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 11\\[4pt] 0 & -3 & 4 & 7 \end{array}\right]
  1. Pivô na posição (2,2): a_{22}=1.
Eliminação na coluna 2 abaixo do pivô:
m_{32}=\frac{a_{32}}{a_{22}}=\frac{-3}{1}=-3.
Operação:
L_3 \leftarrow L_3 - m_{32} L_2 = L_3 - (-3)L_2 = L_3 + 3 L_2.
Resultado:
L_3=[0,\;0,\;1,\;40].
Matriz aumentada triangular superior final:
\left[\begin{array}{rrr|r} 2 & 4 & -2 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 11\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 40 \end{array}\right]]

Resposta

Sistema 1: x=\dfrac{11}{5},\;y=\dfrac{6}{5}
Sistema 2: Não é possível resolver — dados incompletos (faltam os termos independentes)
Sistema 3: Não é possível resolver — dados incompletos (faltam os termos independentes)
Sistema 4: Não é possível resolver — dados incompletos (faltam os termos independentes)
Sistema 5: x=3,\;y=1,\;z=2,\;w=4
Sistema 6: x=\dfrac{5}{7},\;y=-\dfrac{13}{7},\;z=\dfrac{22}{7}
Sistema 7: x=-61,\;y=51,\;z=40

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