Aplique o método das séries de potências.
(2+x) y^prime=y

Passo 1

Temos a EDO (2+x)y'=y. O objetivo é usar o método de séries de potências, ou seja, supor que a solução pode ser escrita como uma série em torno de x=0.

Passo 2

Assumimos y(x)=sumn=0^infty an x^n. Então a derivada fica y'(x)=sumn=0^infty (n+1)an+1x^n.

Passo 3

Multiplicando por 2+x obtemos
(2+x)y'=2sumn=0^infty(n+1)an+1x^n + sumn=0^infty(n+1)an+1x^n+1
e isso deve ser igual a y=sumn=0^infty an x^n. Agora igualamos coeficientes de x^n.

Passo 4

Para n=0:
2a1 = a0 implies a1=a02
Para n>=1:
2(n+1)an+1 + n an = an implies an+1=an(1-n)2(n+1)

Passo 5

Da recorrência vemos que a2=tfraca1(1-1)4=0 e assim todos an=0 para n>=2. Logo a série se reduz a
y(x)=a0 + a1 x = a0 + a02x = a0l(1+x2r)
Reescrevendo com uma constante C, temos a solução geral linear.

Passo 6

Reconhecendo que a0(1+tfracx2)=tfraca02(2+x), definimos C=tfraca02 e obtemos a forma mais simples da solução.

Resposta

A solução geral é y(x)=C,(2+x), onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados