Discuta a continuidade da função
abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente discutir se a função $ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} $ é contínua no ponto
. Estamos lidando com continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade em pontos específicos e como verificar se o limite da função, quando
se aproxima de
, é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função $ f(x, y) $ é contínua no ponto
se o limite de $ f(x, y) $ quando
se aproxima de
for igual a $ f(a, b) $. Ou seja:
No nosso caso, queremos verificar se:
Sabemos que $ f(0,0) = 0 $, então precisamos calcular o limite da função quando
se aproxima de
e ver se esse limite também é zero.
Passo 3
Vamos calcular o limite de $ f(x, y) = \frac{x^{2} y}{x{4}+y{2}} $ quando
tende a
. Para isso, podemos tentar calcular o limite ao longo de diferentes caminhos e ver se o resultado é o mesmo em todos eles. Se obtivermos limites diferentes por caminhos diferentes, a função não será contínua em
.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular o limite ao longo do eixo $ x $ (ou seja, quando $ y = 0 $):
Então, ao longo do eixo $ x $, o limite é 0.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite ao longo da reta $ y = kx^{2} $, onde $ k $ é uma constante:
O limite nesse caso é $ \frac{k}{1 + k^{2}} $, que depende do valor de $ k $. Isso significa que diferentes valores de $ k $ dão diferentes limites.
Passo 6
Como obtivemos limites diferentes ao escolher diferentes caminhos para
se aproximando de
, isso indica que o limite geral de $ f(x, y) $ quando
tende a
não existe. Portanto, como o limite não existe ou não é igual a $ f(0,0) = 0 $, a função não é contínua em
.
Resposta
A função $ f(x, y) $ não é contínua no ponto
.