Discuta a continuidade da função f: R^2 R abaixo:
f(x, y)=c x^2 yx^4+y^2,(x, y) neq(0,0) 0,(x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente discutir se a função $ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} $ é contínua no ponto f: R^2 R . Estamos lidando com continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade em pontos específicos e como verificar se o limite da função, quando (0,0) se aproxima de (x,y), é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função $ f(x, y) $ é contínua no ponto f(x, y) se o limite de $ f(x, y) $ quando (a, b) se aproxima de f(x, y) for igual a $ f(a, b) $. Ou seja:
(x, y)
No nosso caso, queremos verificar se:
(a, b)
Sabemos que $ f(0,0) = 0 $, então precisamos calcular o limite da função quando f(a, b) se aproxima de lim(x,y) to (a,b) f(x,y) = f(a,b) e ver se esse limite também é zero.

Passo 3

Vamos calcular o limite de $ f(x, y) = \frac{x^{2} y}{x{4}+y{2}} $ quando f(x, y) = x^2 yx^4+y^2 tende a (x,y). Para isso, podemos tentar calcular o limite ao longo de diferentes caminhos e ver se o resultado é o mesmo em todos eles. Se obtivermos limites diferentes por caminhos diferentes, a função não será contínua em (0,0).

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o limite ao longo do eixo $ x $ (ou seja, quando $ y = 0 $):
x
Então, ao longo do eixo $ x $, o limite é 0.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite ao longo da reta $ y = kx^{2} $, onde $ k $ é uma constante:
y = kx^2
O limite nesse caso é $ \frac{k}{1 + k^{2}} $, que depende do valor de $ k $. Isso significa que diferentes valores de $ k $ dão diferentes limites.

Passo 6

Como obtivemos limites diferentes ao escolher diferentes caminhos para (x,y) se aproximando de (0,0), isso indica que o limite geral de $ f(x, y) $ quando f(x, y) tende a (x,y) não existe. Portanto, como o limite não existe ou não é igual a $ f(0,0) = 0 $, a função não é contínua em (0,0).

Resposta

A função $ f(x, y) $ não é contínua no ponto f(x, y) .

Exercícios relacionados