Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace.
y^prime prime-4 y^prime+4 y=0, y(0)=2,1, y^prime(0)=3,9

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem y''-4y'+4y=0 com condições iniciais y(0)=2,1 e y'(0)=3,9, usando transformada de Laplace. Vamos precisar das fórmulas Ly'=sY(s)-y(0), Ly''=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0) e da propriedade de linearidade.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo, obtemos:
Ly''-4Ly'+4Ly=0

Passo 3

Usando as fórmulas de transformada de derivadas:
Ly''=s^2Y(s)-2.1s-3.9, Ly'=sY(s)-2.1, Ly=Y(s),
substituímos e temos
(s^2Y(s)-2.1s-3.9)-4(sY(s)-2.1)+4Y(s)=0

Passo 4

Reorganizando os termos de Y(s) e os termos numéricos:
l(s^2-4s+4r)Y(s)-2.1s-3.9+8.4=0
l(s-2r)^2Y(s)-2.1s+4.5=0
e, portanto,
Y(s)=2.1s-4.5(s-2)^2

Passo 5

Para facilitar a inversão, escrevemos o numerador em termos de s-2:
2.1s-4.5=2.1(s-2)-0.3,
então
Y(s)=2.1s-2(s-2)^2-0.31(s-2)^2=2.11s-2-0.31(s-2)^2

Passo 6

Usando as transformadas inversas L^-11/(s-a)=e^at e L^-11/(s-a)^2=te^at, obtemos
y(t)=2.1e^2t-0.3te^2t=(2.1-0.3t)e^2t

Resposta

y(t)=(2.1-0.3t)e^2t

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