Aplique o método de séries de potências na equação:
Passo 1
Temos a EDO não homogênea
com condições iniciais
e
. Vamos usar séries de potências em torno de
para encontrar os coeficientes de
.
Passo 2
Assumimos
logo
Passo 3
Substituindo em
obtemos
Isso implica a condição de recorrência
ou seja
Passo 4
Pelas condições iniciais temos
Passo 5
Usando a recorrência para alguns termos:
- Para
: ⇒ . - Para
: ⇒ . - Para
: ⇒ . - Para
: ⇒ . - Para
: ⇒ . - Para
: ⇒ .
Passo 6
Construindo a série de potências:
Observa-se que, a partir de
, os coeficientes seguem
. Reconhecemos então a soma fechada abaixo.
Passo 7
Da série acima podemos reescrever a solução em forma fechada como