Aplique o método de séries de potências na equação:
y^prime prime+y=x^3, y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

Temos a EDO não homogênea y''+y=x^3 com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1. Vamos usar séries de potências em torno de x=0 para encontrar os coeficientes de y(x)=sumn=0^infty anx^n.

Passo 2

Assumimos
y(x)=sumn=0^infty anx^n,
logo
y''(x)=sumn=2^infty n(n-1)anx^n-2 =sumn=0^infty (n+2)(n+1)an+2x^n

Passo 3

Substituindo em y''+y=x^3 obtemos
sumn=0^inftyl[(n+2)(n+1)an+2+anr]x^n = x^3
Isso implica a condição de recorrência
(n+2)(n+1)an+2+an= 1,&n=3,0,&nneq3,
ou seja
an+2=de

Passo 4

Pelas condições iniciais temos
a0=y(0)=0, a1=y'(0)=1

Passo 5

Usando a recorrência para alguns termos:
  • Para n=0: 2a2+a0=0 a2=0.
  • Para n=1: 6a3+a1=0 a3=-tfrac16.
  • Para n=2: 12a4+a2=0 a4=0.
  • Para n=3: 20a5+a3=1 a5=tfrac7120.
  • Para n=4: 30a6+a4=0 a6=0.
  • Para n=5: 42a7+a5=0 a7=-tfrac1720.

Passo 6

Construindo a série de potências:
y(x)=a1x+a3x^3+a5x^5+a7x^7+cdots =x-16x^3+7120x^5-1720x^7+cdots
Observa-se que, a partir de k>=2, os coeficientes seguem
a2k+1=tfrac7(-1)^k(2k+1)!. Reconhecemos então a soma fechada abaixo.

Passo 7

Da série acima podemos reescrever a solução em forma fechada como
y(x)=7sin x + x^3 -6x

Resposta

y(x)=7sin x + x^3 -6x

Exercícios relacionados