Utilize o método de variação de parâmetros para:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea de 3º ordem
usando o método de variação de parâmetros. Vamos usar teoria de EDOs lineares de coeficientes constantes e variação de constantes.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada
A equação característica é
Passo 3
Escolhemos como base fundamental
No método de variação de parâmetros buscamos
com as restrições usuais para simplificar o sistema:
Passo 4
Escrevemos o sistema para as derivadas
:
Substituindo as derivadas de
yi e simplificando, chegamos a um sistema para
u2' e
u3' , e depois encontramos
u1' .
Passo 5
Resolvendo esse sistema obtemos
Passo 6
Agora integramos cada uma:
(apenas o termo particular interessa, pois qualquer constante entra em
yh ).
Passo 7
Substituindo em
yp = u1 + u2e^-2x + u3 x e^-2x e simplificando cuidadosamente, verifica-se que
Passo 8
A solução geral fica
Passo 9
Por fim, aplicamos as condições iniciais em
y,y',y'' em
x=0 para determinar
C1,C2,C3 . O sistema é
Resolvendo, achamos
C1=1 ,
C2=-tfrac1516 e
C3=-tfrac78 .
Passo 10
Substituindo de volta, a solução que satisfaz tudo é: