Utilize o método de variação de parâmetros para:
y^prime prime prime+4 y^prime prime+4 y^prime=cos (2 x), y(0)=0, y^prime(0)=1, y^prime prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea de 3º ordem
y''' + 4y'' + 4y' = cos(2x), y(0)=0,;y'(0)=1,;y''(0)=0
usando o método de variação de parâmetros. Vamos usar teoria de EDOs lineares de coeficientes constantes e variação de constantes.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada
yh''' + 4yh'' + 4yh' = 0
A equação característica é
r^3 + 4r^2 + 4r = r(r+2)^2 = 0, \ncom raízes r=0 e r=-2 (dupla). Logo
yh = C1 + C2e^-2x + C3 x e^-2x

Passo 3

Escolhemos como base fundamental
y1=1, y2=e^-2x, y3=x e^-2x
No método de variação de parâmetros buscamos
yp = u1(x)y1 + u2(x)y2 + u3(x)y3,
com as restrições usuais para simplificar o sistema:

Passo 4

Escrevemos o sistema para as derivadas ui':
u1'y1 + u2'y2 + u3'y3 = 0, u1'y1' + u2'y2' + u3'y3' = 0, u1'y1'' + u2'y2'' + u3'y3'' = cos(2x)
Substituindo as derivadas de yi e simplificando, chegamos a um sistema para u2' e u3', e depois encontramos u1'.

Passo 5

Resolvendo esse sistema obtemos
u3' = -tfrac12 e^2xcos(2x), u2' = -tfrac1-2x4 e^2xcos(2x), u1'= tfrac14cos(2x)

Passo 6

Agora integramos cada uma:
u1 = integral u1',dx = tfrac18sin(2x),
u3 = -tfrac12integral e^2xcos(2x),dx = -tfrace^2x8l(cos(2x)+sin(2x)r),
u2 = -tfrac14integral(1-2x)e^2xcos(2x),dx
(apenas o termo particular interessa, pois qualquer constante entra em yh).

Passo 7

Substituindo em yp = u1 + u2e^-2x + u3 x e^-2x e simplificando cuidadosamente, verifica-se que
yp = -tfrac116cos(2x)

Passo 8

A solução geral fica
y(x) = C1 + C2e^-2x + C3x e^-2x - tfrac116cos(2x)

Passo 9

Por fim, aplicamos as condições iniciais em
y,y',y'' em x=0 para determinar C1,C2,C3. O sistema é
C1 + C2 - tfrac116 = 0, -2C2 + C3 = 1, 4C2 -4C3 + tfrac14 = 0
Resolvendo, achamos C1=1, C2=-tfrac1516 e C3=-tfrac78.

Passo 10

Substituindo de volta, a solução que satisfaz tudo é:

Passo 11

y(x) = 1 - tfrac1516e^-2x - tfrac78x e^-2x - tfrac116cos(2x)

Resposta

y(x) = 1 - 1516e^-2x - 78x e^-2x - 116cos(2x)

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