Calcule as primitivas abaixo
integral 2 x^3+x^2+2 x-1x^4-1 d x

Passo 1

Estamos calculando a primitiva da integral integral 2 x^3 + x^2 + 2 x - 1x^4 - 1 , dx. O conteúdo é decomposição em frações parciais de funções racionais, e vamos precisar fatorar o denominador e usar o método de frações parciais.

Passo 2

Fatoramos o denominador x^4 - 1. Observamos que x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) e depois x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1). Assim temos
x^4 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)

Passo 3

Propomos a decomposição em frações parciais
2 x^3 + x^2 + 2 x - 1(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = Ax - 1 + Bx + 1 + C x + Dx^2 + 1

Passo 4

Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum e agrupando os termos de mesma potência de x, obtemos o polinômio
2 x^3 + x^2 + 2 x - 1 = A(x^3 + x^2 + x + 1) + B(x^3 - x^2 + x - 1) + (C x + D)(x^2 - 1)

Passo 5

Coletando coeficientes de x^3, x^2, x e termo constante resulta o sistema
A + B + C = 2, A - B + D = 1, A + B - C = 2, A - B - D = -1

Passo 6

Das duas primeiras equações achamos C = 0 e A + B = 2. Das duas últimas vem A = B e, portanto, A = B = 1. Substituindo em qualquer equação obtemos D = 1.
Logo a decomposição ficou
2 x^3 + x^2 + 2 x - 1x^4 - 1 = 1x - 1 + 1x + 1 + 1x^2 + 1

Passo 7

Agora integramos termo a termo:
integral 1x - 1 , dx = ln|x - 1|,
integral 1x + 1 , dx = ln|x + 1|,
integral 1x^2 + 1 , dx = arctan(x)

Resposta

ln|x - 1| + ln|x + 1| + arctan(x) + C

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