Aplique o método de séries de potências à equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de séries de potências. Primeiro, vamos entender o que a gente tem aqui:
Estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes que variam com
. Para resolver isso, vamos usar séries de potências, que é uma técnica onde a solução
é expressa como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
. Vamos precisar assumir que
pode ser escrita dessa forma e então encontrar os coeficientes dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Essas derivadas vão entrar na nossa equação diferencial.
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial:
Agora, vamos simplificar cada termo para termos potências de
com o mesmo expoente.
Passo 5
Primeiro, ajustamos os índices das somas para ter todas as séries em termos de
:
Para o segundo termo:
Para o primeiro termo, fazemos
:
E similarmente para os outros termos.
Passo 6
Depois de ajustar os índices, temos a equação toda em termos de
:
Simplificando os coeficientes:
Passo 7
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser zero. Assim, temos a relação de recorrência:
Passo 8
Vamos reorganizar a relação de recorrência para encontrar
:
Essa fórmula nos permite calcular os coeficientes
em termos de
e
.
Passo 9
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os primeiros coeficientes.
Dadas:
Passo 10
Usando a relação de recorrência e os coeficientes
e
, vamos calcular alguns termos:
Para
:
Como
não existe (assumimos
):
Para
:
Para
:
E assim por diante.
Passo 11
Com os coeficientes calculados, podemos escrever a solução aproximada até o termo
:
Resposta
A solução da equação diferencial, utilizando séries de potências, é: