Aplique o método de séries de potências à equação:
y^prime prime-(2 x+1) y^prime+x y=0, y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de séries de potências. Primeiro, vamos entender o que a gente tem aqui:
y'' - (2x + 1) y' + x y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1
Estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes que variam com . Para resolver isso, vamos usar séries de potências, que é uma técnica onde a solução é expressa como uma soma infinita de termos envolvendo potências de . Vamos precisar assumir que pode ser escrita dessa forma e então encontrar os coeficientes dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução y(x) = sumn=0^infty an x^n pode ser escrita como uma série de potências centrada em :
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1 :
Primeira derivada:
y''(x) = sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2
Segunda derivada:
Essas derivadas vão entrar na nossa equação diferencial.

Passo 4

Vamos substituir sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2 - (2x + 1) sumn=1^infty n an x^n-1 + x sumn=0^infty an x^n = 0 , e na equação diferencial:
Agora, vamos simplificar cada termo para termos potências de com o mesmo expoente.

Passo 5

Primeiro, ajustamos os índices das somas para ter todas as séries em termos de (2x + 1) y' = 2x sumn=1^infty n an x^n-1 + sumn=1^infty n an x^n-1 = sumn=1^infty 2n an x^n + sumn=1^infty n an x^n-1 :
Para o segundo termo:
sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2 = sumk=0^infty (k+2)(k+1) ak+2 x^k
Para o primeiro termo, fazemos :
E similarmente para os outros termos.

Passo 6

Depois de ajustar os índices, temos a equação toda em termos de sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n - sumn=0^infty (2n an + n an) x^n + sumn=0^infty an-1 x^n = 0 :
sumn=0^infty [ (n+2)(n+1) an+2 - 3n an + an-1 ] x^n = 0
Simplificando os coeficientes:

Passo 7

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo (n+2)(n+1) an+2 - 3n an + an-1 = 0 para todo n >= 0 , os coeficientes de cada potência de devem ser zero. Assim, temos a relação de recorrência:

Passo 8

Vamos reorganizar a relação de recorrência para encontrar an+2 = 3n an - an-1(n+2)(n+1) :
Essa fórmula nos permite calcular os coeficientes em termos de e .

Passo 9

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os primeiros coeficientes.
Dadas:
y(0) = 0 Rightarrow a0 = 0
y'(0) = 1 Rightarrow a1 = 1

Passo 10

Usando a relação de recorrência e os coeficientes a2 = 3(0) a0 - a-12 cdot 1 e a2 = 0 , vamos calcular alguns termos:
Para a3 = 3(1) a1 - a03 cdot 2 = 3 cdot 1 - 06 = 36 = 12 :
a4 = 3(2) a2 - a14 cdot 3 = 6 cdot 0 - 112 = -112
Como não existe (assumimos ):
Para :
Para :
E assim por diante.

Passo 11

Com os coeficientes calculados, podemos escrever a solução aproximada até o termo y(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + a4 x^4 + dots = 0 + 1x + 0x^2 + 12x^3 - 112x^4 + dots :

Resposta

A solução da equação diferencial, utilizando séries de potências, é:
y(x) = x + 12x^3 - 112x^4 + dots

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