Utilize séries de potências para resolver a EDO:
Passo 1
A gente tem a EDO
e o enunciado pede pra resolver usando séries de potências. O conteúdo essencial aqui é EDO com solução em série, então vamos supor que
y se expresse como uma soma infinita de potências de
Passo 2
Assumimos a solução em série de potências:
Derivando termo a termo, obtemos
Passo 3
Substituímos na EDO. Primeiro reindexamos
com
:
Já
Logo a EDO dá
Passo 4
Para anular a soma pra todo
, igualamos coeficientes de cada potência. No caso
temos
Para
$$(n+2)(n+1),a_{n+2} + a_{n-1} = 0
\quad\Longrightarrow\quad
a_{n+2} = -\frac{a_{n-1}}{(n+2)(n+1)}.$$
Passo 5
Usamos as condições iniciais:
e
. Aí calculamos os primeiros coeficientes:
-
-
-
-
-
E assim por diante — só aparecem os termos de índice múltiplo de 3.
Passo 6
Juntando tudo, a solução em série fica