Utilize séries de potências para resolver a EDO:
y^prime prime+x y=0, y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

A gente tem a EDO
y'' + x,y = 0, y(0)=1, y'(0)=0,
e o enunciado pede pra resolver usando séries de potências. O conteúdo essencial aqui é EDO com solução em série, então vamos supor que
y se expresse como uma soma infinita de potências de x.

Passo 2

Assumimos a solução em série de potências:
y(x) = sumn=0^infty an x^n
Derivando termo a termo, obtemos
y'(x) = sumn=1^infty n,an x^n-1,
y''(x) = sumn=2^infty n(n-1),an x^n-2

Passo 3

Substituímos na EDO. Primeiro reindexamos y'' com nto n+2:
y''(x) = sumn=0^infty (n+2)(n+1),an+2,x^n
x,y(x) vira
x,y(x) = sumn=0^infty an x^n+1 = sumn=1^infty an-1 x^n
Logo a EDO dá
sumn=0^infty (n+2)(n+1),an+2,x^n + sumn=1^infty an-1,x^n = 0

Passo 4

Para anular a soma pra todo x, igualamos coeficientes de cada potência. No caso n=0 temos
2cdot1,a2 = 0 Longrightarrow a2 = 0
Para n>=1 surge a relação de recorrência
$$(n+2)(n+1),a_{n+2} + a_{n-1} = 0
\quad\Longrightarrow\quad
a_{n+2} = -\frac{a_{n-1}}{(n+2)(n+1)}.$$

Passo 5

Usamos as condições iniciais: y(0)=a0=1 e y'(0)=a1=0. Aí calculamos os primeiros coeficientes:
  • a2=0
  • a3 = -a0/(3cdot2) = -1/6
  • a4=0, a5=0
  • a6 = -a3/(6cdot5) = 1/180
  • a7=a8=0, a9 = -a6/(9cdot8) = -1/12960
    E assim por diante — só aparecem os termos de índice múltiplo de 3.

Passo 6

Juntando tudo, a solução em série fica
y(x) = 1 - x^36 + x^6180 - x^912960 + cdots

Resposta

y(x) = 1 - x^36 + x^6180 - x^912960 + cdots

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