Mostre que nabla times G=0 para todos os pontos (x, y, z) neq(0,0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o rotacional de G, que é representado por nabla times G, é igual a zero em todos os pontos (x, y, z) neq (0,0,0). O conteúdo envolvido aqui é cálculo vetorial, mais especificamente o conceito de rotacional de um campo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as definições e propriedades do rotacional e, possivelmente, utilizar a teoria de campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, ou nabla times G, mede a tendência de um campo vetorial girar em torno de um ponto. Se o rotacional é zero em uma região, isso indica que o campo não possui “giro” nessa região, ou seja, é conservativo.

Passo 3

Agora, uma propriedade importante: o rotacional do gradiente de qualquer função escalar é sempre zero. Ou seja, se G for um campo vetorial que pode ser expresso como o gradiente de uma função escalar phi, então:
G = nabla phi
Então, o rotacional de G seria:
nabla times G = nabla times (nabla phi) = 0

Passo 4

Assumindo que G é um campo conservativo, ou seja, pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar em todos os pontos exceto possivelmente na origem (0,0,0), então o rotacional de G será zero nesses pontos. Isso se aplica a campos como o campo gravitacional ou o campo elétrico estático, onde o campo pode ser derivado de um potencial escalar.

Passo 5

Portanto, concluímos que:
nabla times G = 0 para todos os pontos (x, y, z) neq (0,0,0)

Resposta

O rotacional de G é zero para todos os pontos (x, y, z) neq (0,0,0), ou seja:
nabla times G = 0

Exercícios relacionados