Mostre que
para todos os pontos
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o rotacional de G, que é representado por
, é igual a zero em todos os pontos
. O conteúdo envolvido aqui é cálculo vetorial, mais especificamente o conceito de rotacional de um campo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as definições e propriedades do rotacional e, possivelmente, utilizar a teoria de campos conservativos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, ou
, mede a tendência de um campo vetorial girar em torno de um ponto. Se o rotacional é zero em uma região, isso indica que o campo não possui “giro” nessa região, ou seja, é conservativo.
Passo 3
Agora, uma propriedade importante: o rotacional do gradiente de qualquer função escalar é sempre zero. Ou seja, se G for um campo vetorial que pode ser expresso como o gradiente de uma função escalar
, então:
Então, o rotacional de G seria:
Passo 4
Assumindo que G é um campo conservativo, ou seja, pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar em todos os pontos exceto possivelmente na origem
, então o rotacional de G será zero nesses pontos. Isso se aplica a campos como o campo gravitacional ou o campo elétrico estático, onde o campo pode ser derivado de um potencial escalar.
Passo 5
Portanto, concluímos que:
Resposta
O rotacional de G é zero para todos os pontos
, ou seja: