Resolva a EDO com as condições iniciais:
y^prime prime-2 y^prime+y=0, y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado quer que a gente resolva a EDO
y'' - 2y' + y = 0
com as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0. Isso é uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes. Pra resolver, vamos usar a ideia da equação característica.

Passo 2

A gente monta a equação característica associada à suposição de solução do tipo y=e^r x. Substituindo na EDO, vem
r^2 - 2r + 1 = 0

Passo 3

Agora resolvemos r^2 - 2r + 1 = 0. O discriminante é De, então a raiz é repetida e vale r = 1.

Passo 4

Quando a raiz é dupla, a solução geral da EDO é
y(x) = (C1 + C2 x)e^r x = (C1 + C2 x)e^x,
onde C1 e C2 são constantes que vamos achar com as condições iniciais.

Passo 5

Vamos calcular y' para aplicar as condições iniciais. Derivando:
$$y’(x) = \frac{d}{dx}[(C_1 + C_2 x)e^{x}] = (C_2 + (C_1 + C_2 x))e^{x} = (C_1 + C_2 + C_2 x)e^{x}.
$$
y'(x) = ddx[(C1 + C2 x)e^x] = (C2 + (C1 + C2 x))e^x = (C1 + C2 + C2 x)e^x e y(0)=C1=1 y'(0)=(C1 + C2)=0.

Passo 6

Substituindo C1=1 e C2=-1 na solução geral, ficamos com
y(x) = (1 - x)e^x

Resposta

y(x) = (1 - x)e^x

Exercícios relacionados