(1 ponto) Calcule lim x infty(x+9x+1)^x+3.

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxtoinftygl(x+9x+1gr)^x+3
O conteúdo aqui é limite exponencial do tipo (1 + an)^nto e^a. Vamos usar essa ideia: escrever a base como 1+tfrac8x+1 e separar o expoente em duas partes.

Passo 2

Reescrevemos a expressão isolando x+1 no expoente:
gl(x+9x+1gr)^x+3 =gl(1+8x+1gr)^x+1timesgl(1+8x+1gr)^2
Aqui usamos que x+3=(x+1)+2.

Passo 3

Analisamos o primeiro fator, que é do tipo fundamental:
limxtoinftygl(1+8x+1gr)^x+1=e^8

Passo 4

Agora o segundo fator é uma potência de ordem fixa:
limxtoinftygl(1+8x+1gr)^2 =l(1+0r)^2=1

Passo 5

Multiplicando os limites dos dois fatores (produto de limites):
e^8times 1 = e^8

Resposta

e^8

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