(Bônus valendo 1 ponto extra) Uma função F: R R é contínua e F ( x ) cdot F ( F ( x ) ) = 1 para é𝕔𝕠𝕟𝕥í𝕟𝕦𝕒𝕖𝕩𝕩𝟙𝕡𝕒𝕣𝕒 todo x real. Sabendo que F(1000)=999, encontre F(500).
Dica: Use o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 1

O enunciado dá uma função contínua FcolonRtoR tal que, para todo x,
F(x),cdot,Fl(F(x)r)=1
e sabemos que F(1000)=999. Queremos encontrar F(500).
Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para produzir pontos em que F tome valores especiais e, em seguida, usar a relação funcional para obter F(500).

Passo 2

Aplicando a relação em x=1000, temos
F(1000),Fl(F(1000)r)=1 Longrightarrow 999;F(999)=1 Longrightarrow F(999)=tfrac1999
Em seguida, em x=999,
F(999),Fl(F(999)r)=1 Longrightarrow tfrac1999;Fl(tfrac1999r)=1 Longrightarrow Fl(tfrac1999r)=999
Além disso, como F(x),F(F(x))=1>0, segue que F(x) nunca zera e tem sinal constante. Como F(1000)=999>0, temos
F(x)>0para todo (xinR)

Passo 3

Considere o intervalo de domínio l[999,,1000r]. Nos pontos extremos,
F(999)=tfrac1999<1 e F(1000)=999>1
Pelo TVI existe din(999,1000) tal que
F(d)=1

Passo 4

Aplicando a relação funcional em x=d, obtém-se
F(d),Fl(F(d)r)=1 Longrightarrow 1cdot F(1)=1 Longrightarrow F(1)=1

Passo 5

Agora olhe o intervalo l[1,,1000r]. Nele,
F(1)=1<500<999=F(1000)
Pelo TVI existe cin(1,1000) tal que
F(c)=500

Passo 6

Finalmente, aplique a relação em x=c:
F(c),Fl(F(c)r)=1 Longrightarrow 500cdot F(500)=1 Longrightarrow F(500)=tfrac1500

Resposta

F(500)=1500

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