(Bônus valendo 1 ponto extra) Uma função
todo
real. Sabendo que
, encontre
.
Dica: Use o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 1
O enunciado dá uma função contínua
tal que, para todo
,
e sabemos que
. Queremos encontrar
.
Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para produzir pontos em que tome valores especiais e, em seguida, usar a relação funcional para obter
.
Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para produzir pontos em que
Passo 2
Aplicando a relação em
, temos
Em seguida, em
,
Além disso, como
, segue que
nunca zera e tem sinal constante. Como
, temos
Passo 3
Considere o intervalo de domínio
. Nos pontos extremos,
Pelo TVI existe
tal que
Passo 4
Aplicando a relação funcional em
, obtém-se
Passo 5
Agora olhe o intervalo
. Nele,
Pelo TVI existe
tal que
Passo 6
Finalmente, aplique a relação em
: