Aplique o método das séries de potências para resolver as equações abaixo:
x y^prime-(x+2) y=-2 x^2-2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
x,y'-(x+2),y=-2x^2-2x
usando o método de séries de potências (Frobenius). Trata-se de uma EDO linear de primeira ordem com ponto singular em x=0. Vamos procurar soluções da forma
y=sumn=0^inftycn,x^n+r

Passo 2

Substituindo
y=sumn=0^inftycn,x^n+r, y'=sumn=0^infty(n+r),cn,x^n+r-1,
na equação e coletando potências de x^n+r, obtemos a condição inicial (equação indicial)
(r-2),c0=0
que dá duas raízes:
r1=0, r2=2

Passo 3

Caso r=0 (solução particular). A recorrência geral fica, para n>=1,
(n-2),cn-cn-1=bn,
onde b1=-2, b2=-2 e bn=0 para n>=3.
  • Do termo n=0 segue c0=0.
  • Em n=1: (1-2)c1-c0=-2implies -c1=-2implies c1=2
  • Em n=2: o fator (2-2)=0 impõe c1=-2, mas já vimos c1=2, logo esse passo apenas confirma a força do termo forçado e não fixa c2.
    Para obter a solução particular escolhemos c2=0 e, para n>=3, como bn=0,
cn=cn-1n-2=0
Assim a série particular é
yp=c0x^0+c1x^1=;2x

Passo 4

Caso r=2 (solução homogênea). Agora o termo forçado não entra e a recorrência é
(n),cn-cn-1=0 Longrightarrow cn=cn-1n,
com c0 livre. Então
cn=c0n!,
e a solução homogênea é
yh =sumn=0^infty!c0,x^n+2n! =c0,x^2sumn=0^inftyx^nn! =C,x^2e^x

Passo 5

A solução geral é combinação linear das duas:
y(x)=yh+yp = C,x^2e^x+2x

Resposta

y(x)=C,x^2e^x+2x

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