Aplique o método das séries de potências para resolver as equações abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
usando o método de séries de potências (Frobenius). Trata-se de uma EDO linear de primeira ordem com ponto singular em
. Vamos procurar soluções da forma
Passo 2
Substituindo
na equação e coletando potências de
, obtemos a condição inicial (equação indicial)
que dá duas raízes:
Passo 3
Caso
(solução particular). A recorrência geral fica, para
,
onde
,
e
para
.
- Do termo
segue . - Em
: - Em
: o fator impõe , mas já vimos , logo esse passo apenas confirma a força do termo forçado e não fixa .
Para obter a solução particular escolhemose, para , como ,
Assim a série particular é
Passo 4
Caso
(solução homogênea). Agora o termo forçado não entra e a recorrência é
com
livre. Então
e a solução homogênea é
Passo 5
A solução geral é combinação linear das duas: