(1 ponto) Encontre o valor de lim x infty (5 x^3+1)^5(x^5+3)^3.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxtoinfty (5x^3+1)^5(x^5+3)^3
Isso envolve limites de funções racionais de polinômios, em que identificamos o comportamento assintótico pelos termos de maior grau.

Passo 2

Fatoramos a potência dominante de x em numerador e denominador:
(5x^3+1)^5 = x^15l(5 + 1x^3r)^5,
(x^5+3)^3 = x^15l(1 + 3x^5r)^3
Logo o quociente vira
(5x^3+1)^5(x^5+3)^3 = x^15l(5 + 1x^3r)^5x^15l(1 + 3x^5r)^3 = l(5 + 1x^3r)^5l(1 + 3x^5r)^3

Passo 3

Ao fazermos xtoinfty, temos tfrac1x^3to0 e tfrac3x^5to0. Então
limxtoinftyl(5 + 1x^3r)^5l(1 + 3x^5r)^3 = 5^51^3 = 3125

Resposta

3125

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