[10 pontos] Determine se são verdadeiras ou falsas as afirmações a seguir. Justifique.
(a) O problema de valor inicial y^prime prime(x)+2x^2-1 y^prime+2 x^3 y(x)=0, y(x0)=0, y(x0)=1 tem solução definida em toda a reta real para qualquer x0 in R.
(b) A série numérica sumn=0^infty n2 n^4+1 é convergente.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y''(x) + 2x^2 - 1,y'(x) + 2x^3,y(x) = 0,
com as condições y(x0)=0 e y'(x0)=1, e pede para verificar se a solução está definida em toda a reta real para todo x0. Além disso, pede para analisar a convergência da série numérica
sumn=0^infty n2n^4+1

Passo 2

Para o problema de valor inicial de segunda ordem escrevemos a equação na forma padrão
y'' + P(x),y' + Q(x),y = 0,
onde
P(x)=2x^2-1, Q(x)=2x^3
O Teorema de Existência e Unicidade garante solução local em qualquer x0 onde P e Q sejam contínuas.

Passo 3

Observamos que P(x)=2/(x^2-1) não é contínua em x=pm1, pois aí o denominador se anula. Logo a solução só existe (e é única) em intervalos que não contenham pm1. Não é possível estender a solução para atravessar esses pontos singulares e, portanto, não há solução definida para toda a reta real.

Passo 4

Para a série
sumn=0^infty n2n^4+1
note que, quando n é grande,
n2n^4+1simn2n^4=12n^3
Como sum 1/n^3 converge (série p-com p=3>1), pelo Teste da Comparação ou pelo Teste do Limite a série dada também converge.

Resposta

(a) Falsa.
(b) Verdadeira.

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