[10 pontos] Determine se são verdadeiras ou falsas as afirmações a seguir. Justifique.
(a) O problema de valor inicial
tem solução definida em toda a reta real para qualquer
.
(b) A série numérica
é convergente.
(a) O problema de valor inicial
(b) A série numérica
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
com as condições
e
, e pede para verificar se a solução está definida em toda a reta real para todo
. Além disso, pede para analisar a convergência da série numérica
Passo 2
Para o problema de valor inicial de segunda ordem escrevemos a equação na forma padrão
onde
O Teorema de Existência e Unicidade garante solução local em qualquer
onde
e
sejam contínuas.
Passo 3
Observamos que
não é contínua em
, pois aí o denominador se anula. Logo a solução só existe (e é única) em intervalos que não contenham
. Não é possível estender a solução para atravessar esses pontos singulares e, portanto, não há solução definida para toda a reta real.
Passo 4
Para a série
note que, quando
é grande,
Como
converge (série
-com
), pelo Teste da Comparação ou pelo Teste do Limite a série dada também converge.
Resposta
(a) Falsa.
(b) Verdadeira.
(b) Verdadeira.