Aplique o método das séries de potências para resolver as equações abaixo:
y^prime=2 x y, y(0)=3

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO
dydx=2x,y,
com a condição inicial y(0)=3, usando o método de séries de potências. Vamos supor
y(x)=sumn=0^infty an x^n
e determinar os coeficientes an a partir da equação diferencial e da condição inicial.

Passo 2

Escrevendo as séries:
y'(x)=sumn=1^infty n,an x^n-1 =sumn=0^infty (n+1),an+1x^n,
e
2x,y(x)=2sumn=0^infty an x^n+1 =2sumn=1^infty an-1x^n =2sumn=0^infty an-1x^n,
onde definimos a-1=0 para uniformizar o índice.

Passo 3

Igualando termo a termo em
y'(x)-2x,y(x)=0 Longrightarrow sumn=0^inftyl[(n+1)an+1-2an-1r]x^n=0
vem a relação de recorrência
(n+1),an+1=2,an-1, n>=0,
com a-1=0. Para n=0 obtemos a1=0, e para n>=1
an+1=2n+1,an-1

Passo 4

A condição y(0)=3 a0=3. Usando a recorrência e a1=0 resulta
a2k+1=0, a2k=1k!,a0=3k!
Portanto
y(x)=sumk=0^infty a2kx^2k =3sumk=0^inftyx^2kk!

Passo 5

Reconhecendo a série de Maclaurin de e^x^2, concluímos
y(x)=3e^x^2

Resposta

y(x)=3e^x^2

Exercícios relacionados