Aplique o método das séries de potências.
y^prime prime+2 x y^prime+y=0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial y'' + 2x,y' + y = 0 usando o método de séries de potências, que é um conteúdo de equações diferenciais em séries. Precisaremos assumir uma solução em forma de série de potências e encontrar a relação de recorrência para os coeficientes.

Passo 2

Assumimos que a solução tem a forma y = sumn=0^infty an x^n. Então derivamos termo a termo:
y' = sumn=1^infty n,an x^n-1 = sumn=0^infty (n+1),an+1 x^n
y'' = sumn=2^infty n(n-1),an x^n-2 = sumn=0^infty (n+2)(n+1),an+2 x^n.

Passo 3

Substituindo em y'' + 2x,y' + y = 0, obtemos
sumn=0^infty (n+2)(n+1)an+2x^n + 2sumn=0^infty (n+1)an+1x^n+1 + sumn=0^infty an x^n = 0
Reindexando o segundo somatório para potência x^n (basta notar que o termo em n=0 é zero), juntamos tudo em um único somatório.

Passo 4

Igualando o coeficiente de x^n a zero, chega-se à relação de recorrência:
(n+2)(n+1)an+2 + (2n+1)an = 0 Longrightarrow an+2 = -2n+1(n+2)(n+1),an

Passo 5

Dessa relação, vemos que os coeficientes pares e ímpares se definem separadamente a partir de a0 e a1. Calculando alguns termos iniciais para visualizar as séries:
Para os índices pares ( n=2m):
a2 = -tfrac12cdot1a0, a4 = tfrac524a0, a6 = -tfrac116a0,dots
Para os índices ímpares ( n=2m+1):
a3 = -tfrac12a1, a5 = tfrac740a1, a7 = -tfrac11240a1,dots

Passo 6

Por fim, a solução geral em série de potências fica como combinação linear de duas séries independentes:
y(x) = a0l(1 - tfrac12x^2 + tfrac524x^4 - tfrac116x^6 + cdotsr) + a1l(x - tfrac12x^3 + tfrac740x^5 - tfrac11240x^7 + cdotsr)

Resposta

A solução geral pelo método das séries de potências é
y(x)=a_{0}\Bigl(1-\tfrac12x{2}+\tfrac{5}{24}x{4}-\tfrac{1}{16}x{6}+\cdots\Bigr)+a_{1}\Bigl(x-\tfrac12x{3}+\tfrac{7}{40}x{5}-\tfrac{11}{240}x{7}+\cdots\Bigr)
com os coeficientes dados por
a_{n+2}=-\frac{2n+1}{(n+2)(n+1)},a_{n},.

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