Aplique o método das séries de potências.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
usando o método de séries de potências, que é um conteúdo de equações diferenciais em séries. Precisaremos assumir uma solução em forma de série de potências e encontrar a relação de recorrência para os coeficientes.
Passo 2
Assumimos que a solução tem a forma
. Então derivamos termo a termo:
Passo 3
Substituindo em
, obtemos
Reindexando o segundo somatório para potência
Passo 4
Igualando o coeficiente de
a zero, chega-se à relação de recorrência:
Passo 5
Dessa relação, vemos que os coeficientes pares e ímpares se definem separadamente a partir de
e
. Calculando alguns termos iniciais para visualizar as séries:
Para os índices pares ( ):
Para os índices pares (
Para os índices ímpares (
Passo 6
Por fim, a solução geral em série de potências fica como combinação linear de duas séries independentes:
Resposta
A solução geral pelo método das séries de potências é
y(x)=a_{0}\Bigl(1-\tfrac12x{2}+\tfrac{5}{24}x{4}-\tfrac{1}{16}x{6}+\cdots\Bigr)+a_{1}\Bigl(x-\tfrac12x{3}+\tfrac{7}{40}x{5}-\tfrac{11}{240}x{7}+\cdots\Bigr)
com os coeficientes dados por
a_{n+2}=-\frac{2n+1}{(n+2)(n+1)},a_{n},.
y(x)=a_{0}\Bigl(1-\tfrac12x{2}+\tfrac{5}{24}x{4}-\tfrac{1}{16}x{6}+\cdots\Bigr)+a_{1}\Bigl(x-\tfrac12x{3}+\tfrac{7}{40}x{5}-\tfrac{11}{240}x{7}+\cdots\Bigr)
com os coeficientes dados por
a_{n+2}=-\frac{2n+1}{(n+2)(n+1)},a_{n},.