Verifique se as hipóteses do Teorema de Valor Médio são satisfeitas e, em caso afirmativo, determine um valor
tal que a função definida por
tenha derivada
, em que
.
Passo 1
O exercício define a função por partes
quer que verifiquemos as hipóteses do Teorema de Valor Médio (MVT) em [0,2] e depois encontremos c em (0,2) tal que f’©=3/2.
Passo 2
Para aplicar o MVT em [0,2] precisamos que f seja contínua em [0,2] e diferenciável em (0,2). Primeiro, f é polinomial em cada ramo, logo é contínua e diferenciável em (−∞,1) e em (1,∞). No ponto x=1 temos
portanto f(1)=1 e os limites coincidem, garantindo continuidade em x=1. As derivadas laterais em x=1 são
ou seja, são iguais, então f é diferenciável em 1. Concluímos que as hipóteses do MVT valem em [0,2].
Passo 3
Pelo MVT existe c\in(0,2) tal que
Calculamos f(0)=0^2=0 e, como 2>1, f(2)=2\cdot2-1=3. Logo a razão média é
Portanto, existe c\in(0,2) com f’©=3/2.
Passo 4
Para achar c resolvemos f’(x)=3/2 em cada ramo:
No ramo x<1 vale f’(x)=2x, então
No ramo x<1 vale f’(x)=2x, então
que pertence a (0,1)\subset(0,2). No ramo x>1 temos f’(x)=2, nunca igual a 3/2. Assim o único c em (0,2) que funciona é 3/4.
Resposta
c=\tfrac{3}{4}