Verifique se as hipóteses do Teorema de Valor Médio são satisfeitas e, em caso afirmativo, determine um valor x0=c tal que a função definida por
f(x)=cc x^2 & se x <= 1 2 x-1 & se x>1
tenha derivada f^prime(c)=32, em que 0.

Passo 1

O exercício define a função por partes
f(x)= x^2, & x<=1, 2x-1, & x>1,
quer que verifiquemos as hipóteses do Teorema de Valor Médio (MVT) em [0,2] e depois encontremos c em (0,2) tal que f’©=3/2.

Passo 2

Para aplicar o MVT em [0,2] precisamos que f seja contínua em [0,2] e diferenciável em (0,2). Primeiro, f é polinomial em cada ramo, logo é contínua e diferenciável em (−∞,1) e em (1,∞). No ponto x=1 temos
limxto1^-f(x)=1^2=1, limxto1^+f(x)=2cdot1-1=1,
portanto f(1)=1 e os limites coincidem, garantindo continuidade em x=1. As derivadas laterais em x=1 são
f'-(1)=2cdot1=2, f'+(1)=2,
ou seja, são iguais, então f é diferenciável em 1. Concluímos que as hipóteses do MVT valem em [0,2].

Passo 3

Pelo MVT existe c\in(0,2) tal que
f'(c)=f(2)-f(0)2-0
Calculamos f(0)=0^2=0 e, como 2>1, f(2)=2\cdot2-1=3. Logo a razão média é
3-02=32
Portanto, existe c\in(0,2) com f’©=3/2.

Passo 4

Para achar c resolvemos f’(x)=3/2 em cada ramo:
No ramo x<1 vale f’(x)=2x, então
2x=tfrac32 Longrightarrow x=tfrac34
que pertence a (0,1)\subset(0,2). No ramo x>1 temos f’(x)=2, nunca igual a 3/2. Assim o único c em (0,2) que funciona é 3/4.

Resposta

c=\tfrac{3}{4}

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