Considere a função
dada por
.
Determine os Intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
Determine os Intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função
. O objetivo é encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento e indicar possíveis máximos e mínimos locais. Vamos precisar do domínio de
, da derivada
, dos pontos críticos e da análise de sinal de
.
Passo 2
Determinação do domínio: o denominador é
, que zera em
. Logo o domínio é
. Esse ponto excluído vira uma assíntota vertical e não será considerado como extremo.
Passo 3
Cálculo da derivada usando regra do quociente: escrevemos
e simplificamos o numerador:
Passo 4
Portanto
[f’(x)=\frac{(x-1)(7-x)}{(x-1)4}=\frac{7-x}{(x-1)3}.
]
]
Passo 5
Identificação dos pontos críticos: resolvendo
obtemos
, ou seja
. O ponto
anula o denominador e não pertence ao domínio, então o único ponto crítico válido é
.
Passo 6
Análise de sinal de
: separamos em três intervalos:
Para : temos
e
, logo
(decrescente).
Para :
e
, logo
(crescente).
Para :
e
, logo
(decrescente).
Para
Para
Para
Passo 7
Classificação de extremos: em
a derivada passa de positiva para negativa, indicando um máximo local. Calculando
. Não surge mudança de sinal que resulte em mínimo local em nenhum ponto do domínio.
Resposta
Intervalos de crescimento: (1,7). Intervalos de decrescimento: (-\infty,1) e (7,\infty). Máximo local em x=7 com f(7)=1/12. Não há mínimo local.