Considere a função f dada por f(x)=x-4x^2-2 x+1.
Determine os Intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função f(x)=x-4x^2-2x+1. O objetivo é encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento e indicar possíveis máximos e mínimos locais. Vamos precisar do domínio de f, da derivada f', dos pontos críticos e da análise de sinal de f'.

Passo 2

Determinação do domínio: o denominador é x^2-2x+1=(x-1)^2, que zera em x=1. Logo o domínio é Rsetminus1. Esse ponto excluído vira uma assíntota vertical e não será considerado como extremo.

Passo 3

Cálculo da derivada usando regra do quociente: escrevemos
f'(x)=(1),(x-1)^2-(x-4),2(x-1)(x-1)^4
e simplificamos o numerador:
(x-1)^2-2(x-4)(x-1)=(x-1)l((x-1)-2(x-4)r)=(x-1)(7-x)

Passo 4

Portanto
[f’(x)=\frac{(x-1)(7-x)}{(x-1)4}=\frac{7-x}{(x-1)3}.
]

Passo 5

Identificação dos pontos críticos: resolvendo f'(x)=0 obtemos 7-x=0, ou seja x=7. O ponto x=1 anula o denominador e não pertence ao domínio, então o único ponto crítico válido é x=7.

Passo 6

Análise de sinal de f': separamos em três intervalos:
Para x<1: temos 7-x>0 e (x-1)^3<0, logo f'<0 (decrescente).
Para 1: 7-x>0 e (x-1)^3>0, logo f'>0 (crescente).
Para x>7: 7-x<0 e (x-1)^3>0, logo f'<0 (decrescente).

Passo 7

Classificação de extremos: em x=7 a derivada passa de positiva para negativa, indicando um máximo local. Calculando f(7)=7-4(7-1)^2=336=112. Não surge mudança de sinal que resulte em mínimo local em nenhum ponto do domínio.

Resposta

Intervalos de crescimento: (1,7). Intervalos de decrescimento: (-\infty,1) e (7,\infty). Máximo local em x=7 com f(7)=1/12. Não há mínimo local.

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