Seja f: R^2 R dada por f(x, y)=4-x^2-y, determine as curvas de nível de f e faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Nessa questão, temos a função f:R^2toR definida por f(x,y)=4 - x^2 - y. Precisamos encontrar as curvas de nível, ou seja, os locais onde f(x,y) é constante, e depois esboçar tanto essas curvas no plano xy quanto dar ideia do gráfico em 3D.

Passo 2

O conceito de curva de nível é o conjunto de pontos (x,y) em que f(x,y) assume um valor fixo c. Então fazemos
f(x,y)=c

Passo 3

Substituindo f(x,y) na equação anterior, temos
4 - x^2 - y = c

Passo 4

Agora, para ver a forma geométrica, isolamos y:
y = 4 - c - x^2

Passo 5

Essa é a equação de uma parábola no plano xy: abre para baixo (coeficiente de x^2 negativo) e tem vértice em (0,,4-c). À medida que escolhemos diferentes valores de c, essas parábolas descem ou sobem verticalmente.

Passo 6

No esboço em 2D, desenhamos um feixe de parábolas y=-x^2+(4-c) para vários c (por exemplo, c=0,1,2,3). Para o gráfico em 3D, notamos que em cada direção de y a superfície é uma reta inclinada (por causa do termo -y), e em cada corte para y=constante ela é uma parábola em x. Assim obtemos um cilindro parabólico aberto para baixo e inclinado na direção de y.

Resposta

As curvas de nível de f são, para cada cinR, as parábolas dadas por y = 4 - c - x^2. O gráfico de f em 3D é um cilindro parabólico descrito por z = 4 - x^2 - y, aberto para baixo e inclinado ao longo do eixo y.

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