Seja
dada por
, determine as curvas de nível de
e faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Nessa questão, temos a função
definida por
. Precisamos encontrar as curvas de nível, ou seja, os locais onde
é constante, e depois esboçar tanto essas curvas no plano
quanto dar ideia do gráfico em 3D.
Passo 2
O conceito de curva de nível é o conjunto de pontos
em que
assume um valor fixo
. Então fazemos
Passo 3
Substituindo
na equação anterior, temos
Passo 4
Agora, para ver a forma geométrica, isolamos
:
Passo 5
Essa é a equação de uma parábola no plano
: abre para baixo (coeficiente de
negativo) e tem vértice em
. À medida que escolhemos diferentes valores de
, essas parábolas descem ou sobem verticalmente.
Passo 6
No esboço em 2D, desenhamos um feixe de parábolas
para vários
(por exemplo,
). Para o gráfico em 3D, notamos que em cada direção de
a superfície é uma reta inclinada (por causa do termo
), e em cada corte para
ela é uma parábola em
. Assim obtemos um cilindro parabólico aberto para baixo e inclinado na direção de
.
Resposta
As curvas de nível de
são, para cada
, as parábolas dadas por
. O gráfico de
em 3D é um cilindro parabólico descrito por
, aberto para baixo e inclinado ao longo do eixo
.