Aplique o método de séries de potências em:
y^prime prime+2 y^prime+y=ln (x+1), y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem não homogênea
y''+2y'+y=ln(1+x), y(0)=0,;y'(0)=0
usando séries de potências em torno de x=0. Vamos precisar assumir que a solução y(x) se expande em série, obter as séries de y',y'' e de ln(1+x), substituir na equação e igualar coeficientes para achar uma recorrência entre os coeficientes.

Passo 2

Assumimos a forma em série
y(x)=sumn=0^infty anx^n,
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y'(x)=sumn=1^infty n,anx^n-1, y''(x)=sumn=2^infty n(n-1)anx^n-2

Passo 3

Expandimos o termo não homogêneo em série de potências:
ln(1+x)=sumn=1^infty(-1)^n-1n,x^n

Passo 4

Substituindo na EDO e realinhando para potências x^k obtemos
sumk=0^infty ak+2(k+2)(k+1) +2(k+1)ak+1+akgr]x^k =sumk=1^infty(-1)^k-1kx^k

Passo 5

Igualando o coeficiente de x^0 surge
2a2+2a1+a0=0
Como y(0)=a0=0 e y'(0)=a1=0, deduzimos a2=0.

Passo 6

Para k>=1 a recorrência geral é
(k+2)(k+1)ak+2+2(k+1)ak+1+ak=(-1)^k-1k,
ou seja
ak+2= rac(-1)^k-1k-2(k+1)ak+1-ak(k+2)(k+1)
Com isso calculamos alguns termos iniciais:
  • a3=1/6
  • a4=-1/8
  • a5=7/120
  • a6=-17/720

Passo 7

Juntando tudo, a solução em série até sexta ordem fica
y(x)=x^36-x^48+7x^5120-17x^6720+cdots

Resposta

y(x)=x^36-x^48+7x^5120-17x^6720+cdots

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