Aplique a solução da parte homogênea mais a solução particular em:
y^prime prime prime+2 y^prime prime-y^prime=x^3, y(0)=1, y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não homogenea de terceira ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: solução geral de EDO linear de ordem 3, parte homogênea + parte particular. Vamos precisar achar raízes do polinômio característico, montar yₕ, escolher um palpite polinomial para yₚ e depois ajustar constantes pelas condições iniciais.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y''' + 2y'' - y' = 0
O polinômio característico é
r^3 + 2r^2 - r = rigl(r^2 + 2r - 1r) = 0 
As raízes são
r1 = 0, r2,3 = -2 pm raiz4 + 42 = -1 pm raiz2

Passo 3

Logo a solução homogênea fica
yh(x) = C1 + C2 e^(-1+raiz2)x + C3 e^(-1-raiz2)x
Aqui cada termo corresponde a cada raiz simples.

Passo 4

Para a parte particular, como o termo de força é um polinômio de grau 3 e r=0 é raiz simples, multiplicamos por x um palpite de grau 3. Assim escolhemos
yp(x) = a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x

Passo 5

Calculamos as derivadas:
y'p = 4a x^3 + 3b x^2 + 2c x + d, y''p = 12a x^2 + 6b x + 2c, y'''p = 24a x + 6b
Substituindo em y’’’ + 2y’’ - y’ = x^3 e igualando coeficientes de cada potência de x, obtemos o sistema
-4a = 1,
24a - 3b = 0,
24a + 12b - 2c = 0,
6b + 4c - d = 0.

Passo 6

Daí vem
a = -tfrac14, b = -2, c = -15, d = -72
Logo
yp(x) = -tfrac14 x^4 - 2x^3 - 15x^2 - 72x

Passo 7

A solução geral é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 + C2 e^(-1+raiz2)x + C3 e^(-1-raiz2)x - tfrac14 x^4 - 2x^3 - 15x^2 - 72x

Passo 8

Agora aplicamos as condições iniciais
y(0)=1, y'(0)=0, y''(0)=1
Calculamos y’(x), y’’(x), substituímos x=0 e montamos o sistema para C_1,C_2,C_3; resolvendo-o obtemos
C1 = -174, C2 = 350 + 247raiz24, C3 = 350 - 247raiz24

Resposta

y(x) = -174 + 350 + 247raiz24 e^(-1+raiz2)x + 350 - 247raiz24 e^(-1-raiz2)x - tfrac14 x^4 - 2x^3 - 15x^2 - 72x

Exercícios relacionados