Aplique a solução da parte homogênea mais a solução particular em:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO não homogenea de terceira ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: solução geral de EDO linear de ordem 3, parte homogênea + parte particular. Vamos precisar achar raízes do polinômio característico, montar yₕ, escolher um palpite polinomial para yₚ e depois ajustar constantes pelas condições iniciais.
Passo 2
A equação homogênea associada é
O polinômio característico é
As raízes são
Passo 3
Logo a solução homogênea fica
Aqui cada termo corresponde a cada raiz simples.
Passo 4
Para a parte particular, como o termo de força é um polinômio de grau 3 e r=0 é raiz simples, multiplicamos por x um palpite de grau 3. Assim escolhemos
Passo 5
Calculamos as derivadas:
Substituindo em y’’’ + 2y’’ - y’ = x^3 e igualando coeficientes de cada potência de x, obtemos o sistema
-4a = 1,
24a - 3b = 0,
24a + 12b - 2c = 0,
6b + 4c - d = 0.
-4a = 1,
24a - 3b = 0,
24a + 12b - 2c = 0,
6b + 4c - d = 0.
Passo 6
Daí vem
Logo
Passo 7
A solução geral é
Passo 8
Agora aplicamos as condições iniciais
Calculamos y’(x), y’’(x), substituímos x=0 e montamos o sistema para C_1,C_2,C_3; resolvendo-o obtemos