Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore um gráfico da função resposta obtida:
t y +2 y=sen t y(pi / 2)=1, t>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela EDO de 1º ordem t,y'+2y=sin t com condição y(pi/2)=1, e em seguida traçar o gráfico da solução para t>0. O conteúdo é resolução de EDO linear de 1ª ordem e vamos precisar usar o fator integrante.

Passo 2

Vamos primeiro escrever a EDO na forma padrão. Dividindo por t (para t>0) obtemos
y' + 2ty = sin tt Aqui P(t)=2/t e Q(t)=sin t/t.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(t)=expl(integral P(t),dtr)=expl(integral 2t,dtr)=exp(2ln t)=t^2

Passo 4

Multiplicamos a EDO padrão por mu(t)=t^2:
t^2y' + 2t,y = t^2cdotsin tt = tsin t
O lado esquerdo é a derivada do produto:
ddt(t^2y)=tsin t

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral ddt(t^2y),dt = integral tsin t,dt
Para a integral do lado direito usamos integração por partes (ou tabela):
integral tsin t,dt = -tcos t + sin t + C
Logo
t^2y = -tcos t + sin t + C

Passo 6

Isolamos y(t):
y(t)= -cos tt + sin tt^2 + Ct^2

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(pi/2)=1:
1 = -cos(pi/2)pi/2 + sin(pi/2)(pi/2)^2 + C(pi/2)^2
Como cos(pi/2)=0 e sin(pi/2)=1, segue
1 = 0 + 1(pi/2)^2 + C(pi/2)^2 = 4pi^2 + 4Cpi^2
Multiplicando por pi^2/4:
1 = pi^24 + C Rightarrow C=pi^24-1

Passo 8

Substituímos C na solução geral. A resposta final é
y(t)= -cos tt + sin tt^2 + 1t^2l(pi^24-1r), t>0

Passo 9

Para esboçar o gráfico notamos que à medida que tto+infty, todas as parcelas decaem ( 1/t,1/t^2) e a solução faz oscilações amortecidas. O gráfico é uma oscilação em torno de zero com amplitude decrescente. Por exemplo, em Python você pode usar:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

t = np.linspace(0.1, 20, 1000)
y = -np.cos(t)/t + np.sin(t)/t**2 + ((np.pi**2/4)-1)/t**2
plt.plot(t, y)
plt.axhline(0, color='k', lw=0.5)
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('y(t)')
plt.title('Solução y(t) com oscilações amortecidas')
plt.show()

Passo 10

Com isso temos a solução explícita e seu comportamento gráfico.

Resposta

y(t)= -cos tt + sin tt^2 + 1t^2l(pi^24-1r), t>0

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