Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore um gráfico da função resposta obtida:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela EDO de 1º ordem
com condição
, e em seguida traçar o gráfico da solução para
. O conteúdo é resolução de EDO linear de 1ª ordem e vamos precisar usar o fator integrante.
Passo 2
Vamos primeiro escrever a EDO na forma padrão. Dividindo por
(para
) obtemos
Passo 3
Calculamos o fator integrante
Passo 4
Multiplicamos a EDO padrão por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Para a integral do lado direito usamos integração por partes (ou tabela):
Logo
Passo 6
Isolamos
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
:
Como
e
, segue
Multiplicando por
:
Passo 8
Substituímos
na solução geral. A resposta final é
Passo 9
Para esboçar o gráfico notamos que à medida que
, todas as parcelas decaem (
) e a solução faz oscilações amortecidas. O gráfico é uma oscilação em torno de zero com amplitude decrescente. Por exemplo, em Python você pode usar:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
t = np.linspace(0.1, 20, 1000)
y = -np.cos(t)/t + np.sin(t)/t**2 + ((np.pi**2/4)-1)/t**2
plt.plot(t, y)
plt.axhline(0, color='k', lw=0.5)
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('y(t)')
plt.title('Solução y(t) com oscilações amortecidas')
plt.show()
Passo 10
Com isso temos a solução explícita e seu comportamento gráfico.