Aplique o método da Transformada de Laplace para calcular a solução y(t) das seguintes EDO(b) y^prime prime-4 y^prime+4 y=t^3, y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y''-4y'+4y=t^3, y(0)=1,;y'(0)=0,
usando Transformada de Laplace. Vamos precisar das fórmulas de L{y’}, L{y’’} e de L{t^n}.

Passo 2

Aplicamos a transformada em cada termo. Sabemos que
Ly''(s)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0), Ly'(s)=sY(s)-y(0), Lt^3(s)=6s^4
Substituindo na EDO transformada, obtemos
s^2Y(s)-s-4l(sY(s)-1r)+4Y(s)=6s^4

Passo 3

Fazendo as contas, agrupa-se Y(s):
(s^2-4s+4)Y(s)=6s^4+s-4, Y(s)=6/s^4+s-4(s-2)^2

Passo 4

Para inverter Y(s) precisamos de frações parciais. Separamos
s-4(s-2)^2=1s-2-2(s-2)^2,
e
$$\frac{6}{s4(s-2)2}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s2}+\frac{C}{s3}+\frac{D}{s4}+\frac{E}{s-2}+\frac{F}{(s-2)2}.
$$
Calculando coeficientes por comparação de termos (ou método cover-up), encontra-se
A=3/4, B=9/8, C=3/2, D=3/2, E=-3/4, F=3/8.

Passo 5

Reunindo tudo, fica
Y(s)=141s-2-1381(s-2)^2+341s+981s^2+321s^3+321s^4

Passo 6

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando
L{-1}{1/(s-2)}=e{2t},
L{-1}{1/(s-2)2}=t e^{2t},
L{-1}{1/sk}=t^{k-1}/(k-1)!.
Isso leva a

Passo 7

Resposta

y(t)=tfrac14t^3+tfrac34t^2+tfrac98t+tfrac34+tfrac14e^2t-tfrac138t,e^2t

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