Aplique o método da Transformada de Laplace para calcular a solução
das seguintes EDO(b)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
usando Transformada de Laplace. Vamos precisar das fórmulas de L{y’}, L{y’’} e de L{t^n}.
Passo 2
Aplicamos a transformada em cada termo. Sabemos que
Substituindo na EDO transformada, obtemos
Passo 3
Fazendo as contas, agrupa-se Y(s):
Passo 4
Para inverter Y(s) precisamos de frações parciais. Separamos
e
$$\frac{6}{s4(s-2)2}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s2}+\frac{C}{s3}+\frac{D}{s4}+\frac{E}{s-2}+\frac{F}{(s-2)2}.
$$
Calculando coeficientes por comparação de termos (ou método cover-up), encontra-se
A=3/4, B=9/8, C=3/2, D=3/2, E=-3/4, F=3/8.
Calculando coeficientes por comparação de termos (ou método cover-up), encontra-se
A=3/4, B=9/8, C=3/2, D=3/2, E=-3/4, F=3/8.
Passo 5
Reunindo tudo, fica
Passo 6
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando
L{-1}{1/(s-2)}=e{2t},
L{-1}{1/(s-2)2}=t e^{2t},
L{-1}{1/sk}=t^{k-1}/(k-1)!.
Isso leva a
L{-1}{1/(s-2)}=e{2t},
L{-1}{1/(s-2)2}=t e^{2t},
L{-1}{1/sk}=t^{k-1}/(k-1)!.
Isso leva a