Determine a imagem da função f:(0,2) R, f(x)=-x^2+2 x-3.

Passo 1

Estamos com a função f:(0,2)toR, definida por f(x)=-x^2+2x-3. O conteúdo é estudo de imagem de função polinomial em intervalo aberto e vamos precisar completar o quadrado e analisar extremos.

Passo 2

Vamos reescrever a expressão de f(x) completando o quadrado. Começamos por fatorar o coeficiente de x^2:
f(x)=-l(x^2-2x+3r)
Agora, dentro do parêntese, completamos o quadrado em x^2-2x+3. Sabemos que x^2-2x+1=(x-1)^2, então reescrevemos:
x^2-2x+3=(x-1)^2+2
Substituindo de volta em f(x):
f(x)=-l((x-1)^2+2r)=-,(x-1)^2-2

Passo 3

Como esta é uma parábola voltada para baixo (coeficiente de (x-1)^2 é negativo), seu vértice em x=1 corresponde ao valor máximo da função. Calculamos:
f(1)=-,(1-1)^2-2=-2

Passo 4

Agora, avaliamos os limites nos extremos do domínio aberto. Mesmo que o domínio seja (0,2), observamos os valores em xto0^+ e xto2^-:
limxto0^+f(x)=f(0)=-3,limxto2^-f(x)=f(2)=-3

Passo 5

Como x=0 e x=2 não estão no domínio, o valor -3 não é atingido, mas pode ser aproximado. Assim, f(x) varia de valores estritamente maiores que -3 até o máximo -2, que ocorre em x=1.

Resposta

A imagem de f em (0,2) é (-3,-2].

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