6
Usando o teorema de derivada de transformada,
Lt^n f(t)=(-1)^n d^nd s^n Lf(t)
calcule:
(a) Lt^3 cos 2 t

Passo 1

O enunciado pede para usar o teorema de derivada da transformada de Laplace, ou seja, para calcular Lt^3cos2t vamos precisar de Lcos2t e depois aplicar Lt^n f(t)=(-1)^ndfracd^nds^nLf(t).

Passo 2

Chamando F(s)=Lcos2t, sabemos que F(s)=ss^2+4.

Passo 3

Pelo teorema, temos
Lt^3cos2t = (-1)^3d^3ds^3F(s) = -d^3ds^3gl(ss^2+4gr)

Passo 4

Calculando a primeira derivada usando regra do quociente:
F'(s)=(s^2+4)-scdot2s(s^2+4)^2 = 4-s^2(s^2+4)^2

Passo 5

Para a segunda derivada, aplicamos produto/quociente novamente:
F''(s)=2s(s^2-12)(s^2+4)^3

Passo 6

Na terceira derivada, diferenciando F''(s) e combinando termos, obtemos:
F'''(s)=-6s^4+144s^2-96(s^2+4)^4

Passo 7

Multiplicando por -1 para concluir:
Lt^3cos2t = -F'''(s) = 6s^4-144s^2+96(s^2+4)^4 = 6l(s^4-24s^2+16r)(s^2+4)^4

Resposta

Lt^3cos2t=6l(s^4-24s^2+16r)(s^2+4)^4

Exercícios relacionados