Lembrando da fórmula de transformada de derivadas,
Lf^(n)(t)=s^n Lf(t)-s^n-1 f(0)-s^n-2 f^prime(0)-cdots-f^n-1(0),
calcule
© L4 e^4 t cosh 7 t+7 e^4 t sinh 7 t (Sugestão: perceba que 4 e^4 t cosh 7 t+7 e^4 t sinh 7 t é a derivada de e^4 t cosh 7 t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular L4e^4tcosh7t + 7e^4tsinh7t e sugere notar que essa função é a derivada de g(t)=e^4tcosh7t. Vamos usar a fórmula de transformada de derivadas: Lg'(t) = s,G(s) - g(0), onde G(s)=Lg(t).

Passo 2

Primeiro, calculamos G(s)=Le^4tcosh7t. Usando a propriedade de deslocamento no eixo s:
Le^atcosh bt = s-a(s-a)^2 - b^2
Substituindo a=4 e b=7:
G(s)=s-4(s-4)^2 - 49

Passo 3

Em seguida, avaliamos g(0)=e^0cosh0=1. Agora aplicamos a fórmula da transformada de derivada:
Lg'(t) = s,G(s) - g(0) = scdots-4(s-4)^2 - 49 - 1

Passo 4

Por fim, juntamos as frações e simplificamos:
L4e^4tcosh7t + 7e^4tsinh7t = s(s-4) - l((s-4)^2 - 49r)(s-4)^2 - 49 = 4s + 33(s-4)^2 - 49
Observando que (s-4)^2 - 49 = s^2 - 8s - 33, podemos escrever o resultado final como:
4s + 33s^2 - 8s - 33.

Passo 5

Portanto, a transformada de Laplace pedida é dada por 4s + 33s^2 - 8s - 33.

Resposta

4s + 33s^2 - 8s - 33

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