Aplique o método da Transformada de Laplace para calcular a solucão
da seguntes EDO lineares não-homogêneas, sujeitas às condiçōes iniciais dadas:
.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear não homogênea do segundo grau:
com as condições iniciais:
Vamos usar o método da Transformada de Laplace para resolver isso. Pra isso, a gente vai precisar lembrar como aplicar a transformada nas derivadas e como resolver equações algébricas na variável transformada $ s $.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
- A transformada de $ y’’(t) $ é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $
- A transformada de $ y’(t) $ é $ s Y(s) - y(0) $
- A transformada de $ e^{at} $ é $ \frac{1}{s - a} $
Aplicando isso na nossa EDO:
Substituindo as transformadas:
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $:
Simplificando:
Juntando os termos com $ Y(s) $:
Passo 4
Vamos isolar $ Y(s) $ na equação:
Então:
Vamos separar a fração pra facilitar:
Podemos simplificar o segundo termo:
Então:
Passo 5
Agora, vamos decompor em frações parciais para cada termo. Primeiro, para:
Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por $ (s - 4)s(s - 3) $:
Vamos encontrar $ A, B, C $ substituindo valores de $ s $:
-
Para $ s = 0 $:
-
Para $ s = 3 $:
-
Para $ s = 4 $:
Então, a decomposição fica:
Agora, voltando para $ Y(s) $:
Simplificando:
Passo 6
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa para encontrar $ y(t) $. Sabemos que:
- $ \mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{s}\right} = 1 $
- $ \mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{s - a}\right} = e^{at} $
Aplicando isso:
Simplificando os termos constantes:
Resposta
A solução da equação diferencial é: