Aplique o método da Transformada de Laplace para calcular a solucão y(t) da seguntes EDO lineares não-homogêneas, sujeitas às condiçōes iniciais dadas:
y^prime prime-3 y^prime=e^4 x, y(0)=1, y^prime(0)=0.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear não homogênea do segundo grau:
y'' - 3y' = e^4t
com as condições iniciais:
y(0) = 1 e y'(0) = 0
Vamos usar o método da Transformada de Laplace para resolver isso. Pra isso, a gente vai precisar lembrar como aplicar a transformada nas derivadas e como resolver equações algébricas na variável transformada $ s $.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
  • A transformada de $ y’’(t) $ é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $
  • A transformada de $ y’(t) $ é $ s Y(s) - y(0) $
  • A transformada de $ e^{at} $ é $ \frac{1}{s - a} $
Aplicando isso na nossa EDO:
y''(t)
Substituindo as transformadas:
s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $:
y(0) = 1
Simplificando:
y'(0) = 0
Juntando os termos com $ Y(s) $:
[s^2 Y(s) - s cdot 1 - 0] - 3[s Y(s) - 1] = 1s - 4

Passo 4

Vamos isolar $ Y(s) $ na equação:
Y(s)
Então:
(s^2 - 3s) Y(s) = 1s - 4 + s - 3
Vamos separar a fração pra facilitar:
Y(s) = 1s - 4 + s - 3s^2 - 3s
Podemos simplificar o segundo termo:
Y(s) = 1(s - 4)(s^2 - 3s) + s - 3s^2 - 3s
Então:
s - 3s^2 - 3s = s - 3s(s - 3) = 1s

Passo 5

Agora, vamos decompor em frações parciais para cada termo. Primeiro, para:
1(s - 4)s(s - 3)
Assumimos que:
1(s - 4)s(s - 3) = As + Bs - 3 + Cs - 4
Multiplicando ambos os lados por $ (s - 4)s(s - 3) $:
(s - 4)s(s - 3)
Vamos encontrar $ A, B, C $ substituindo valores de $ s $:
  • Para $ s = 0 $:
    1 = A(s - 4)(s - 3) + B s (s - 4) + C s (s - 3)
  • Para $ s = 3 $:
    A, B, C
  • Para $ s = 4 $:
    s
Então, a decomposição fica:
s = 0
Agora, voltando para $ Y(s) $:
1 = A(-4)(-3) Rightarrow 1 = 12A Rightarrow A = 112
Simplificando:
s = 3

Passo 6

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa para encontrar $ y(t) $. Sabemos que:
  • $ \mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{s}\right} = 1 $
  • $ \mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{s - a}\right} = e^{at} $
Aplicando isso:
y(t)
Simplificando os termos constantes:
L^-11s = 1
L^-11s - a = e^at

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 1312 - 13 e^3t + 14 e^4t

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