Determine o comprimento de arco das seguintes curvas nos intervalos dados:
(b) x=t^2, y=t sin t, z=t cos t, 0 <= t <= pi.

Passo 1

O exercício nos pede o comprimento de arco da curva definida por x=t^2, y=tsin t, z=tcos t para 0<= t<= pi. O conteúdo envolve comprimento de arco de curvas paramétricas, e vamos precisar usar a fórmula L=integrala^b l|r'(t)r|,dt, onde r(t)=(x(t),y(t),z(t)).

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas de cada coordenada: x'(t)=2t, y'(t)=sin t + tcos t, z'(t)=cos t - tsin t

Passo 3

Agora somamos os quadrados para encontrar |r'(t)|: expandindo (sin t + tcos t)^2+(cos t - tsin t)^2 notamos que os termos cruzados se cancelam e sobra
l|r'(t)r|^2=(2t)^2 + l(sin^2 t+cos^2 tr)+t^2l(cos^2 t+sin^2 tr)=4t^2+1+t^2=5t^2+1 Portanto
L=integral0^pi raiz5t^2+1,dt

Passo 4

Para resolver essa integral, fazemos a substituição u=raiz5,t, de modo que dt=du/raiz5 e raiz5t^2+1=raizu^2+1. Logo
L=integralu=0^u=raiz5pi raizu^2+1raiz5,du=1raiz5integral0^raiz5piraizu^2+1,du

Passo 5

Usando a primitiva integralraizu^2+1,du=tfrac12l(uraizu^2+1+ln(u+raizu^2+1)r), obtemos
L=12raiz5l[uraizu^2+1+lnl(u+raizu^2+1r)r]0^raiz5pi

Resposta

L=\frac{\pi\sqrt{5\pi2+1}}{2}+\frac{1}{2\sqrt5}\ln\bigl(\sqrt5,\pi+\sqrt{5\pi2+1}\bigr).

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