Sabe-se que a equação da reta tangente a uma curva r(t) em um ponto t0 é dada por X(t)= r(t0)+t r^prime(t0). Determine a reta tangente às curvas abaixo nos pontos indicados.
© r(t)=(3 t^2+1,4^t, e^t-1) no ponto P(4,4,1).

Passo 1

O exercício dá uma curva paramétrica vec r(t)=(3t^2+1,4^t,e^t-1) e pede a reta tangente no ponto P(4,4,1). O conteúdo é reta tangente a curvas no espaço: precisamos achar o parâmetro t0 tal que vec r(t0)=P e calcular o vetor tangente vec r'(t0).

Passo 2

Igualando cada componente de vec r(t0)=(3t0^2+1,4^t0,e^t0-1) a P(4,4,1) obtemos:
3t0^2+1=4
4^t0=4
e^t0-1=1
Da primeira equação temos t0^2=1 dando t0=pm1. A segunda exige 4^t0=4, ou seja t0=1. A terceira confirma e^1-1=e^0=1. Portanto t0=1.

Passo 3

Calculamos agora a derivada
vec r'(t)=(6t,ln(4),4^t, e^t-1)
Em t0=1 fica
vec r'(1)=(6,4ln4,1)

Passo 4

Assim, a reta tangente pode ser escrita como vetor posição do ponto mais parâmetro vezes vetor tangente:
vec X(t)=l(4,4,1r)+t,(6,4ln4,1)

Resposta

vec X(t)=(4,4,1)+t,(6,4ln4,1), ou em coordenadas: x=4+6t,;y=4+4ln4,t,;z=1+t.

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