Determine a curvatura, torção, componentes normal e tangencial da aceleração para as seguintes curvas:
(a)
.
(a)
Passo 1
Nesse exercício, temos a curva
e queremos achar a curvatura
, a torção
e as componentes tangencial
e normal
da aceleração. Esse é um tópico de geometria diferencial de curvas em
. Vamos usar as definições
e também
Passo 2
Calculamos velocidade, aceleração e módulo de
:
Passo 3
Para a curvatura, primeiro fazemos o produto vetorial
e seu módulo
. Aplicando a fórmula:
Passo 4
A torção é dada por
Aqui
e
logo
Passo 5
Por fim, as componentes da aceleração. O versor tangente é
Então
A componente normal satisfaz