Determine a curvatura, torção, componentes normal e tangencial da aceleração para as seguintes curvas:
(a) r=r(t)=(t^3, 3 t+2,0).

Passo 1

Nesse exercício, temos a curva r(t)=(t^3,,3t+2,,0) e queremos achar a curvatura kappa(t), a torção tau(t) e as componentes tangencial at e normal an da aceleração. Esse é um tópico de geometria diferencial de curvas em R^3. Vamos usar as definições
v(t)= r'(t), a(t)= r''(t),
kappa(t)=lVert v(t)times a(t)rVertlVert v(t)rVert^3, tau(t)=( v(t)times a(t))cdot a'(t)lVert v(t)times a(t)rVert^2,
e também
at=ddtlVert v(t)rVert, an=raizlVert a(t)rVert^2 - at^2

Passo 2

Calculamos velocidade, aceleração e módulo de v:
r'(t)= v(t)=(3t^2,,3,,0), r''(t)= a(t)=(6t,,0,,0)
lVert v(t)rVert=raiz(3t^2)^2+3^2=3raizt^4+1

Passo 3

Para a curvatura, primeiro fazemos o produto vetorial
v(t)times a(t)=(3t^2,3,0)times(6t,0,0)=(0,0,-18t)
e seu módulo lVert vtimes arVert=18|t|. Aplicando a fórmula:
kappa(t)=18|t|l(3raizt^4+1r)^3 =18|t|27,(t^4+1)^3/2 =2|t|3,(t^4+1)^3/2

Passo 4

A torção é dada por
tau(t)=( vtimes a)cdot a'lVert vtimes arVert^2
Aqui a'(t)=r'''(t)=(6,0,0) e
( vtimes a)cdot a'=(0,0,-18t)cdot(6,0,0)=0,
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tau(t)=0

Passo 5

Por fim, as componentes da aceleração. O versor tangente é
T(t)= v(t)lVert v(t)rVert =(3t^2,3,0)3raizt^4+1 =(t^2,1,0)raizt^4+1
Então
at= acdot T=6t^3raizt^4+1
A componente normal satisfaz
an=raizlVert arVert^2 - at^2 =raiz36t^2 - 36t^6t^4+1 =6|t|raizt^4+1

Resposta

kappa(t)=2|t|3(t^4+1)^3/2, tau(t)=0, at=6t^3raizt^4+1, an=6|t|raizt^4+1

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