Aplique o método de variação de parâmetros para obter a soluçâo da EDO d^2 yd x^2-3 d yd x+2 y=e^-x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
d^2 yd x^2 - 3 d yd x + 2 y = e^-x
Aqui, vamos usar o método de variação de parâmetros, que é uma técnica para encontrar uma solução particular para equações diferenciais não homogêneas. Primeiro, precisamos achar a solução geral da equação homogênea associada.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
d^2 yd x^2 - 3 d yd x + 2 y = 0
Para isso, montamos a equação característica:
m^2 - 3m + 2 = 0
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
m = 3 pm raiz9 - 82 = 3 pm 12 Rightarrow m = 2 ou m = 1
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = C1 e^2x + C2 e^x
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_{p}(x) $ usando o método de variação de parâmetros. A ideia é assumir que os coeficientes $ C_{1} $ e $ C_{2} $ não são constantes, mas funções de $ x $.
Primeiro, identificamos as soluções da homogênea:
yp(x)
A solução particular tem a forma:
C1
Para encontrar $ u_{1}(x) $ e $ u_{2}(x) $, usamos as seguintes fórmulas:
C2
onde $ g(x) = e^{-x} $ e $ W $ é o Wronskiano das soluções homogêneas:
x
Então:
y1(x) = e^2x e y2(x) = e^x
yp(x) = u1(x) y1(x) + u2(x) y2(x)
Integrando:
u1(x)
Desconsiderando as constantes de integração (pois já temos elas na solução homogênea), temos:
u2(x)

Passo 4

Agora, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^2x + C2 e^x + 16 e^-x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^2x + C2 e^x + 16 e^-x
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.

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