Aplique o método de variação de parâmetros para obter a soluçâo da
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
Aqui, vamos usar o método de variação de parâmetros, que é uma técnica para encontrar uma solução particular para equações diferenciais não homogêneas. Primeiro, precisamos achar a solução geral da equação homogênea associada.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_{p}(x) $ usando o método de variação de parâmetros. A ideia é assumir que os coeficientes $ C_{1} $ e $ C_{2} $ não são constantes, mas funções de $ x $.
Primeiro, identificamos as soluções da homogênea:
A solução particular tem a forma:
Para encontrar $ u_{1}(x) $ e $ u_{2}(x) $, usamos as seguintes fórmulas:
onde $ g(x) = e^{-x} $ e $ W $ é o Wronskiano das soluções homogêneas:
Então:
Integrando:
Desconsiderando as constantes de integração (pois já temos elas na solução homogênea), temos:
Passo 4
Agora, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.