Seja f(z)=e^2 z, z in C, determine a série de MacLaurin para f(z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a série de MacLaurin para a função $ f(z) = e^{2z} $, onde $ z $ é um número complexo. A série de MacLaurin é basicamente uma expansão em série de potências de uma função centrada em $ z = 0 $. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da série de MacLaurin para a função exponencial.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que a série de MacLaurin para $ e^x $ é dada por:
e^x
Isso significa que podemos escrever $ e^{2z} $ de maneira semelhante, substituindo $ x $ por $ 2z $.

Passo 3

Agora, substituindo $ x $ por $ 2z $ na série de MacLaurin de $ e^x $, temos:
x

Passo 4

Podemos simplificar essa expressão escrevendo $ (2z)^n $ como $ 2^n z^n $:
(2z)^n

Resposta

A série de MacLaurin para $ f(z) = e^{2z} $ é:
f(z) = e^2z

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