Aplique o método da variação dos parâmetros para obter uma solução particular da equação e, em seguida, obter a solução geral da equação.
y^prime prime+y=sen x, x in(-infty, infty)

Passo 1

O exercício pede para resolver a EDO não homogênea y''+y=sin x usando o método da variação dos parâmetros, encontrando primeiro a solução particular e depois a solução geral.

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada y''+y=0. A equação característica é r^2+1=0, com raízes r=pm i. Portanto, uma base de soluções é y1=cos x e y2=sin x, e a solução homogênea é yh = C1cos x + C2sin x

Passo 3

Aplicar variação dos parâmetros. Procuramos yp = u1(x)cos x + u2(x)sin x com as condições auxiliares u1'cos x + u2'sin x = 0 e u1'(-sin x)+u2'cos x = sin x. O Wronskiano de (cos x,sin x) é W=cos x & sin x-sin x&cos x=1

Passo 4

Obter u1' e u2':
u1'=-sin xcdotsin xW=-sin^2x, u2'=sin xcdotcos xW=sin xcos x
Integrando, temos
u1=-integralsin^2x,dx=-l( x2-sin2x4r)= - x2+sin2x4,
u2=integralsin xcos x,dx=sin^2x2

Passo 5

Construir a particular
$$y_p=u_1\cos x+u_2\sin x=\Bigl(-\frac x2+\frac{\sin2x}{4}\Bigr)\cos x+\frac{\sin^2x}{2}\sin x.
yp=u1cos x+u2sin x=l(- x2+sin2x4r)cos x+sin^2x2sin x éy_p=-\frac x2\cos x+\frac{\sin x\cos2x+\sin3x}{2}=-\frac x2\cos x+\frac{\sin x}{2}.
yp=- x2cos x+sin xcos^2x+sin^3x2=- x2cos x+sin x2 àçãêêy_p=-\frac x2\cos x.$$
Portanto, a solução geral é Combinar homogênea e particular: tfracsin x2

Resposta

y(x)=C_1\cos x + C_2\sin x - \frac{x}{2}\cos x

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