Obter B e C para que B x+C seja solução particular e obter a solução geral da equação
y^prime prime+4 y^prime-2 y=-3 x+6, x in(-infty, infty)

Passo 1

O enunciado pede para achar uma solução particular da equação não homogênea de segunda ordem
y''+4y'-2y=-3x+6,\no método dos coeficientes a determinar, supondo um palpite do tipo linear yp=Bx+C, e em seguida obter a solução geral somando-a com a solução da homogênea. Precisaremos usar cálculo de derivadas, comparação de coeficientes e resolução da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução particular da forma
yp(x)=B x + C
Então
yp'(x)=B,
yp''(x)=0
Substituindo em
y''+4y'-2y=-3x+6
obtemos o LHS:
yp''+4yp'-2yp=0+4B-2(Bx+C)=-2B x+(4B-2C)
Isso deve igualar-se ao RHS -3x+6, então igualamos coeficientes de x e constantes:
-2B=-3,
4B-2C=6

Passo 3

Da primeira equação vem
B=32
Substituindo em 4B-2C=6:
4cdot32-2C=6
6-2C=6
2C=0
C=0

Passo 4

Agora resolvemos a equação homogênea
y''+4y'-2y=0
pela equação característica
r^2+4r-2=0
As raízes são
r=-4pmraiz16+82=-2pmraiz6
Logo a solução homogênea é
yh(x)=C1e^(-2+raiz6)x+C2e^(-2-raiz6)x

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C1e^(-2+raiz6)x+C2e^(-2-raiz6)x+32x

Resposta

B=3/2, C=0, e a solução geral é y(x)=C1e^(-2+raiz6)x+C2e^(-2-raiz6)x+tfrac32x.

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