Resolva as equações homogêneas usando a substituição
e obtenha a solução explícita
:
Passo 1
Temos a equação (x - y) dx + x dy = 0, que é homogênea de primeira ordem. Vamos usar a substituição y = u x. Precisaremos também da expressão de dy em função de u e du.
Passo 2
Substituindo y = u x e dy = u dx + x du na equação original, obtemos:
Passo 3
Agora simplificamos termo a termo:
$$
x(1 - u) dx + x u dx + x^2 du = x dx + x^2 du = 0.$$
Passo 4
Como x > 0, dividimos tudo por x e fica:
$$
dx + x du = 0.$$
Passo 5
Reescrevendo em forma que possamos integrar: du + \frac{1}{x} dx = 0. Integrando ambos os lados:
Passo 6
Isolamos u: u = C - \ln x. Por fim, voltamos à variável original y = u x:
Resposta
A solução geral é y(x) = C x - x \ln x, onde C é constante arbitrária.