Resolva as equações homogêneas usando a substituição y=u x e obtenha a solução explícita y(x) :
(x-y) d x+x d y=0, x>0

Passo 1

Temos a equação (x - y) dx + x dy = 0, que é homogênea de primeira ordem. Vamos usar a substituição y = u x. Precisaremos também da expressão de dy em função de u e du.

Passo 2

Substituindo y = u x e dy = u dx + x du na equação original, obtemos:
(x - u x) dx + xl(u dx + x dur) = 0

Passo 3

Agora simplificamos termo a termo:
$$
x(1 - u) dx + x u dx + x^2 du = x dx + x^2 du = 0.$$

Passo 4

Como x > 0, dividimos tudo por x e fica:
$$
dx + x du = 0.$$

Passo 5

Reescrevendo em forma que possamos integrar: du + \frac{1}{x} dx = 0. Integrando ambos os lados:
integral du + integral 1x dx = C Longrightarrow u + ln x = C

Passo 6

Isolamos u: u = C - \ln x. Por fim, voltamos à variável original y = u x:
y = xl(C - ln xr) = C x - x ln x

Resposta

A solução geral é y(x) = C x - x \ln x, onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados