Utilize as propriedades de adição e multiplicação para verificar que se a, b in R então as seguintes igualdades são verdadeiras: a^n-b^n=(a-b)(a^n-1+a^n-2 b+cdots+a b^n-2+b^n-1).

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando as propriedades de adição e multiplicação (especialmente a distributiva), que para quaisquer reais a,b e inteiro n>=1 vale
a^n-b^n=(a-b)igl(a^n-1+a^n-2b+cdots+ab^n-2+b^n-1r) 
Vamos usar a ideia de multiplicar (a-b) pela soma e observar um cancelamento em “telescópio”.

Passo 2

Usamos a propriedade distributiva para escrever
(a-b)igl(a^n-1+a^n-2b+cdots+ab^n-2+b^n-1r) = acdot S - bcdot S, 
onde S=a^n-1+a^n-2b+cdots+ab^n-2+b^n-1.

Passo 3

Agora expandimos cada termo:
Para acdot S temos
acdot S = acdot a^n-1 + acdot a^n-2b + cdots + acdot b^n-1 = a^n + a^n-1b + cdots + ab^n-1
Para bcdot S temos
bcdot S = bcdot a^n-1 + bcdot a^n-2b + cdots + bcdot b^n-1 = a^n-1b + a^n-2b^2 + cdots + b^n

Passo 4

Subtraindo termo a termo, vemos que cada monômio intermediário cancela:
(a^n + a^n-1b + cdots + ab^n-1) - (a^n-1b + a^n-2b^2 + cdots + b^n) = a^n - b^n
Esse cancelamento é consequência de somarmos e subtrairmos as mesmas potências mistas.

Passo 5

Portanto, ao expandir (a-b)S e cancelar os termos intermediários, chegamos exatamente em a^n - b^n, o que verifica a identidade pedida.

Resposta

Foi demonstrado que
(a-b)l(a^n-1+a^n-2b+cdots+ab^n-2+b^n-1r)=a^n-b^n

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