Utilize as propriedades de adição e multiplicação para verificar que se
então as seguintes igualdades são verdadeiras:
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar, usando as propriedades de adição e multiplicação (especialmente a distributiva), que para quaisquer reais
e inteiro
vale
Vamos usar a ideia de multiplicar
pela soma e observar um cancelamento em “telescópio”.
Passo 2
Usamos a propriedade distributiva para escrever
onde
.
Passo 3
Agora expandimos cada termo:
Para temos
Para
Para
temos
Passo 4
Subtraindo termo a termo, vemos que cada monômio intermediário cancela:
Esse cancelamento é consequência de somarmos e subtrairmos as mesmas potências mistas.
Passo 5
Portanto, ao expandir
e cancelar os termos intermediários, chegamos exatamente em
, o que verifica a identidade pedida.
Resposta
Foi demonstrado que