Aplique o método da variação dos parâmetros para resolver (solução particular e homogênea):
y^{\prime \prime}+y=\tan (x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de segunda ordem
y'' + y = \tan(x)
usando o método da variação de parâmetros. O conteúdo aqui envolve primeiro achar a solução da equação homogênea associada e depois aplicar a fórmula de variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + y = 0.
Sua equação característica é r^2 + 1 = 0, cujas raízes são r = \pm i. Logo a solução geral homogênea é
y_h = C_1\cos(x) + C_2\sin(x),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para variação de parâmetros tomamos duas soluções independentes da homogênea:
y_1 = \cos(x), \quad y_2 = \sin(x).
O Wronskiano é
W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\[6pt] y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos(x) & \sin(x) \\[3pt] -\sin(x) & \cos(x) \end{vmatrix} = \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1.
As fórmulas de variação de parâmetros dizem que, para g(x)=\tan(x),
u_1' = -\frac{g(x)\,y_2}{W} = -\tan(x)\,\sin(x), \quad u_2' = \frac{g(x)\,y_1}{W} = \tan(x)\,\cos(x).]

Passo 4

Calculemos u_1' e u_2' de forma explícita:
u_1' = -\tan(x)\,\sin(x) = -\frac{\sin^2(x)}{\cos(x)}, \quad u_2' = \tan(x)\,\cos(x) = \sin(x).
Para u_2 temos
u_2 = \int \sin(x)\,dx = -\cos(x)
(ignoramos constante, pois será absorvida em C_1, C_2).
Para u_1 note que \sin^2(x)=1-\cos^2(x), então
u_1' = -\frac{1-\cos^2(x)}{\cos(x)} = -\operatorname{sec}(x) + \cos(x).
Integramos:
u_1 = -\int \operatorname{sec}(x)\,dx + \int \cos(x)\,dx = -\ln\bigl|\operatorname{sec}(x)+\tan(x)\bigr| + \sin(x).

Passo 5

A solução particular é dada por
y_p = u_1\,y_1 + u_2\,y_2.
Substituindo u_1, u_2, y_1 e y_2:
y_p = \bigl(-\ln|\operatorname{sec}(x)+\tan(x)| + \sin(x)\bigr)\cos(x) + \bigl(-\cos(x)\bigr)\sin(x).
Distribuindo e observando que \sin(x)\cos(x)-\cos(x)\sin(x)=0, sobra
y_p = -\cos(x)\,\ln\bigl|\operatorname{sec}(x)+\tan(x)\bigr|.

Resposta

A solução geral da equação y''+y=\tan(x) é
\boxed{y(x) = C_1\cos(x) + C_2\sin(x) \;-\;\cos(x)\,\ln\bigl|\operatorname{sec}(x)+\tan(x)\bigr|.}

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