(2.5 pontos) Um sistema massa-mola está inicialmente em repouso a 0,2 metros de sua posição de equilíbrio. Uma força externa de 4 \cos (3 t) N é aplicada ao sistema. A equação que modela o movimento é:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=4 \cos (3 t)
onde y(t) é a posição da massa no tempo t. As condições iniciais são y(0)=0,2 e y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com amortecimento e forçamento
y''+2y'+5y = 4\cos(3t)
e condições iniciais y(0)=0,2, y'(0)=0. Vamos resolver em duas etapas: primeiro a solução homogênea, depois uma particular, e em seguida impor as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Para a solução homogênea, consideramos
y_h''+2y_h'+5y_h=0.
A equação característica é
r^2+2r+5=0,
cuja solução é
r=-1\pm2i.
Logo
y_h(t)=e^{-t}\bigl(C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)\bigr).

Passo 3

Procuramos uma solução particular da forma
y_p(t)=A\cos(3t)+B\sin(3t).
Calculando as derivadas e substituindo em y''+2y'+5y=4\cos(3t), obtém-se o sistema
(-4A+6B)\cos(3t)+(-6A-4B)\sin(3t)=4\cos(3t)+0\sin(3t).
Igualando coeficientes, vem
\begin{cases} -4A+6B=4,\\\\ -6A-4B=0. \end{cases}
Resolvendo, achamos
A=-\frac{4}{13},\quad B=\frac{6}{13},
ou seja
y_p(t)=-\frac{4}{13}\cos(3t)+\frac{6}{13}\sin(3t).

Passo 4

A solução geral é
y(t)=y_h(t)+y_p(t) =e^{-t}\bigl(C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)\bigr) -\frac{4}{13}\cos(3t)+\frac{6}{13}\sin(3t).

Passo 5

Aplicando y(0)=0,2 e y'(0)=0 gera o sistema para C_1,C_2. De y(0)=C_1-\tfrac{4}{13}=0,2 segue
C_1=0,2+\frac{4}{13}=\frac{33}{65}.
De y'(0)=0 obtém-se
-C_1+2C_2+\frac{18}{13}=0 \quad\Longrightarrow\quad C_2=-\frac{57}{130}.

Resposta

\boxed{ y(t) =e^{-t}\Bigl(\frac{33}{65}\cos(2t)-\frac{57}{130}\sin(2t)\Bigr) -\frac{4}{13}\cos(3t)+\frac{6}{13}\sin(3t) }.

Exercícios relacionados