(2.5 pontos) Um sistema massa-mola está inicialmente em repouso a 0,2 metros de sua posição de equilíbrio. Uma força externa de 4 \cos (3 t) N é aplicada ao sistema. A equação que modela o movimento é:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=4 \cos (3 t)
onde y(t) é a posição da massa no tempo t. As condições iniciais são y(0)=0,2 e y^{\prime}(0)=0.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com amortecimento e forçamento
y''+2y'+5y = 4\cos(3t)
e condições iniciais y(0)=0,2, y'(0)=0. Vamos resolver em duas etapas: primeiro a solução homogênea, depois uma particular, e em seguida impor as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Para a solução homogênea, consideramos
y_h''+2y_h'+5y_h=0.
A equação característica é
r^2+2r+5=0,
cuja solução é
r=-1\pm2i.
Logo
y_h(t)=e^{-t}\bigl(C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)\bigr).
Passo 3
Procuramos uma solução particular da forma
y_p(t)=A\cos(3t)+B\sin(3t).
Calculando as derivadas e substituindo em y''+2y'+5y=4\cos(3t), obtém-se o sistema