Aplique o método dos coeficientes a determinar para resolver (solução particular e homogênea):
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+4 y=e^{t} t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 5y' + 4y = e^{t}t
Usaremos o método da solução geral como soma da solução homogênea y_h e de uma solução particular y_p obtida pelo método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Para achar y_h resolvemos a equação característica associada
r^2 - 5r + 4 = 0.
As raízes são
r = 1,\quad r = 4.
Logo a solução homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{4t},
com C_1 e C_2 constantes.

Passo 3

Como o termo não homogêneo é e^{t}t, vemos que e^{t} corresponde a \alpha=1, que já é raiz simples da característica. Para evitar ressonância multiplicamos por t. O polinômio em t de grau 1 pede uma ansatz
y_p(t) = t\,e^{t}(A t + B) = e^{t}\bigl(A t^2 + B t\bigr).

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p.
y_p = e^{t}(A t^2 + B t)
y_p' = e^{t}(A t^2 + B t) + e^{t}(2A t + B) = e^{t}\bigl(A t^2 + (B+2A)t + B\bigr)
y_p'' = e^{t}\bigl(A t^2 + (B+2A)t + B\bigr) + e^{t}\bigl(2A t + (B+2A)\bigr) = e^{t}\bigl(A t^2 + (B+4A)t + (2B+2A)\bigr).

Passo 5

Substituímos em y'' -5y' +4y e igualamos a e^t t. Fatorando e^{t}, obtemos o polinômio
\bigl[A t^2 + (B+4A)t + (2B+2A)\bigr] -5\bigl[A t^2 + (B+2A)t + B\bigr] +4\bigl[A t^2 + B t\bigr] =e^{t}\bigl(-6A\,t + (2A-3B)\bigr).
Para que isso seja e^{t}t, deve valer
-6A = 1, \quad 2A - 3B = 0.
Daí
A = -\tfrac{1}{6}, \quad B = -\tfrac{1}{9}.
Logo
y_p(t) = e^{t}\Bigl(-\tfrac{1}{6}t^2 - \tfrac{1}{9}t\Bigr).

Passo 6

A solução geral é a soma de y_h e y_p:
y(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{4t} \;-\; e^{t}\Bigl(\tfrac{1}{6}t^2 + \tfrac{1}{9}t\Bigr).

Resposta

y(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{4t} - e^{t}\Bigl(\tfrac{1}{6}t^2 + \tfrac{1}{9}t\Bigr).

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