Aplique o método dos coeficientes a determinar para resolver (solução particular e homogênea):
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Usaremos o método da solução geral como soma da solução homogênea
e de uma solução particular
obtida pelo método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Para achar
resolvemos a equação característica associada
As raízes são
Logo a solução homogênea é
com
e
constantes.
Passo 3
Como o termo não homogêneo é
, vemos que
corresponde a
, que já é raiz simples da característica. Para evitar ressonância multiplicamos por
. O polinômio em
de grau 1 pede uma ansatz
Passo 4
Calculamos as derivadas de
.
Passo 5
Substituímos em
e igualamos a
. Fatorando
, obtemos o polinômio
Para que isso seja
, deve valer
Daí
Logo
Passo 6
A solução geral é a soma de
e
: